2017高考导数压轴题终极解答.docVIP

四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数，其中. ⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式； ⑵讨论函数的单调性； ⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 解：⑴，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． ⑵． 当时，显然(),这时在，上内是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴在，内是增函数，在，内是减函数． ⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是． 恒成立之分离常数 （分离常数） 已知函数 (1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； (2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围. 解: (1) 定义域为,直线的斜率为, ,,.所以 由; 由 所以函数的单调增区间为,减区间为. (2) ，且对时，恒成立 ,即. 设. 当时, , 当时, ,. 所以当时,函数在上取到最大值,且 所以,所以 所以实数的取值范围为. （法二）讨论法 ，在上是减函数，在上是增函数. 当≤时，≥，解得，∴≤. 当时，，解得，∴. 综上. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数） 已知函数,（其中R,为自然对数的底数）. (1)当时,求曲线在处的切线方程； (2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围. （改x≥0时，≥0恒成立.≤1） 解：（1）当时，,,, 切线方程为． （2）[方法一] ≥1,≥≤, 设,则, 设,则, 在上为增函数,≥, ,在上为增函数, ≥,≤． [方法二], , 设,, ≥0,≥0,在上为增函数, ≥. 又≥0恒成立,≥0,≤, ≥,, 在上为增函数, 此时≥≥0恒成立, ≤． （改x≥0时，≥0恒成立.≤1） 解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，∴，∴≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得≤1） （两边取对数的技巧）设函数且） （1）求的单调区间； （2）求的取值范围； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。 解：（1） , 当时，即. 当时，即或. 故函数的单调递增区间是. 函数的单调递减区间是. （2）由时，即， 由（1）可知在上递增， 在递减，所以在区间（－1，0）上， 当时，取得极大值，即最大值为. 在区间上，. 函数的取值范围为.分 （3），两边取自然对数得 （分离常数） 已知函数 ． （Ⅰ）若函数在区间其中a 0，上存在极值，求实数a的取值范围； （Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围； 解：（Ⅰ）因为， x 0，则， 当时，；当时，． 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值． 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得． （Ⅱ）不等式即为 记 所以 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 ． （2010湖南，分离常数，构造函数） 已知函数 对任意的恒有. ⑴证明：当 ⑵若对满足题设条件的任意b、c，不等式恒成立，求M的最小值。 （第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数 （Ⅰ）求函数f (x)的定义域 （Ⅱ）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x0时恒成立，求正整数k的最大值. 解：（1）定义域 （2）单调递减。 当，令， 故在（－1，0）上是减函数，即， 故此时 在（－1，0）和（0，+）上都是减函数 （3）当x0时，恒成立，令 又k为正整数，∴k的最大值不大于3 下面证明当k=3时，恒成立 当x0时 恒成立 令，则 ，，当 ∴当取得最小值 当x0时， 恒成立，因此正整数k的最大值为3 (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理) 已知函数 （Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]e2n－3. 解：（I） 上递减. （II） 则上单调递增， 又 存在唯一实根a，且满足 当 ∴ 故正整数k的最大值是3 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ∴ 令，则 ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] ∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]e2n－3 (分离常数，双参，较难)已知