[数学]非线性方程.ppt

第八章 非线性方程组的数值方法 第一节 非线性方程求根的迭代法 一、非线性方程求根的基本问题包括：根的存在性、根的隔离和根的精确化 二、简单迭代法 记y1=x , y2=φ(x) , 它们交点的横坐标α即为方程的根 定理3 （迭代法的局部收敛定理） 定理3’ （迭代法的局部收敛定理） 五、迭代法和离散动力系统 数值分析 数值分析 例 　用迭代法求 在隔根区间[1.4,1.5] 内的根，要求准确到小数点后第4位。 （1）牛顿迭代公式为 （2） 当 时有， 因 ,故取 ,牛顿迭代法收敛。 数值分析 数值分析 function y=newton(fname,dfname,x0,e,N) y=x0; x0=y+2*e; k=0; while abs(x0-y)ekN k=k+1; x0=y; y=x0-fname(x0)/dfname(x0); disp(y) end if k==N disp(warning) end f=inline(x^3-x^2-1); df=inline(3*x^2-2*x); y=newton(f,df,1.5,0.5*10^(-4),500) 数值分析 数值分析 （局部收敛性）设 f ?C2[a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根，且 f ’(x*) ? 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*，且满足 定理5 证明：Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则 收敛 由 Taylor 展开： 数值分析 数值分析 只要 f ’(x*) ? 0，则令 可得结论。 注：在单根 附近收敛快，是平方收敛的． 由 Taylor 展开： 数值分析 数值分析 对于迭代过程 ，如果 在所求根 的邻近连续，并且 (*) 则该迭代过程在点 邻近是P阶收敛的。 因此对迭代误差有: 。这表明迭代过程 确实为P阶收敛，证毕。 定理6 证明：由于 。据上定理，立即可以断定迭代过程 具有局部收敛性。再将 在根 处展开，利用条件(*)，则有 注意到 ，由上式得 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。 牛顿迭代法的优缺点 2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。 数值分析 数值分析 牛顿法主要有两个缺点：局部收敛，计算量大。 数值分析 数值分析 割线法的几何意义 用割线代替曲线，用 线性函数的零点作为 f(x)的零点的近似值。 收敛阶为 P=1.68 数值分析 数值分析 （Honer算法） 四、高次代数方程求根的嵌套算法 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 对于一个给定的迭代法，它产生的序列除了收敛于一个固定点外，还可能有十分复杂的行为。 研究 当 时渐近行为成为离散动力系统这门学科分支 所关注的内容。它的理论、方法和结果不但对科学计算有重大意义 ，近年来它也为其他领域的科学家深感兴趣，它所引出的混沌、分形等术语已广泛出现在各类文献中。 * * 数值分析 数值分析 在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题，它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的求解问题。 第一节 非线性方程求根的迭代法 第二节 非线性方程组