[数学]高中数学 331《函数的单调性与导数》课件 新人教A版选修1-1.ppt

定理： 一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导： 如果恒有 f′(x)0，则f（x） 是增函数。 如果恒有 f′(x)0，则f（x） 是减函数。 如果恒有 f′(x)=0，则f（x） 是常函数。 小结： 定理： 一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导： 如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 ，则 f(x)是减函数。 如果恒有 ，则 f(x)是常数。 解：由已知得 因为函数在（0，1]上单调递增 变式 本题用到一个重要的转化： 练习1 0≤a≤4 在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。 总结 补例：方程根的问题 求证：方程 只有一个根。 已知：x＞0，求证：x＞sinx. [解析]　设f(x)＝x－sinx　(x＞0) f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立 ∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数 又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立 即：x＞sinx　(x＞0)． 补例：不等式证明问题 步骤： （1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)0以及f’(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。 f’(x)0 f’(x)0 f’(x)＝0 * 3.3.1函数的单调性与导数 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 y x o a b y x o a b 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。 G 称为单调区间 G = ( a , b ) 一、复习引入: 单调性的概念： 对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有 f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。 (1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单. o y x y o x 1 o y x 1 在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）上分别是减函数。 但在定义域上不是减函数。 在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。 在(－ ∞,＋∞)上是增函数 画出下列函数的图象，并根据图象指出每个函数的单调区间 观 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? a a b b t t v h O O ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地, ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, (1) (2) x y O x y O x y O x y O y = x y = x2 y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.