[数学]高二数学《圆锥曲线》.doc

椭圆及其标准方程教案 【学习障碍】 1．理解障碍 (1)求椭圆标准方程可采取“先定位，后定量”的方法，如何定位是关键． (2)对于直线和椭圆的位置关系，可用一元二次方程的Δ来判定，其理论根据是交点个数，这一点应理解准确． (3)直线和椭圆相交时，常常借助韦达定理解决弦长问题．应深刻理解弦长公式的推导过程及各字母含义． (4)给出椭圆标准方程，其焦点是在x轴还是在y轴，怎样判别，其理论依据是什么． (5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式，应理解为什么可以这样设． 2．解题障碍 (1)确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(如焦点的位置)和两个定形条件(如a、b)，a、b是椭圆的定形条件，焦点是椭圆的定位条件． (2)点(x0，y0)在椭圆内＜1；点(x0，y0)在椭圆上 ＝1；点(x0，y0)在椭圆外＞1． (3)椭圆定义是解题的常用工具，但如何转化为定义，如何应用定义需要有明确的思维方向． 【学习策略】 1．坐标法 解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的平面问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上． 2．求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a、b、c，从而写出椭圆方程． 3．定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆定义；或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义． 4．研究直线与椭圆的位置关系，或者利用弦长公式计算弦长．事先都要先把直线方程和椭圆方程联立，消去y(或x)得x(或y)的一元二次方程，再利用其Δ或韦达定理进行． 5．直线与椭圆相交，如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法． 6．Ax2＋By2＝C(其中A、B、C为同号且不为零的常数，A≠B)，它包含焦点在x轴或y轴上两种情形．方程可变形为＝1．当＞时，椭圆的焦点在x轴上；当＜时，椭圆的焦点在y轴上． 【例题分析】 ［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－，)； (3)焦点在坐标轴上，且经过点A(，－2)和B(－2，1) 策略：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可．若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式． 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0) ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4 ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9 所以所求的椭圆的标准方程为＝1． (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0) 由椭圆的定义知， 2a＝ 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6 所以所求的椭圆的标准方程为＝1． (3)解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＝1(a＞b＞0) 由A(，－2)和B(－2，1)两点在椭圆上可得： 解之得 若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，同上可解得，不合题意，舍去． 故所求的椭圆方程为＝1． 解法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1，(m＞0，n＞0且m≠n)． 由A(，－2)和B(－2，1)两点在椭圆上可得 即，解得 故所求的椭圆方程为＝1． 评注：(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b． (2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？ ［例2］已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程． 策略：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图．如图8—1—1所示，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图． 解：如图8—1—1所示，建立坐标系，使x轴经过点B、Ｃ，原点Ｏ与BC的中点重合． 由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c＝6，2a＝10， ∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16． 由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A、B、C三