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[数学]高考绿色通道_排列与组合
如何区分某一问题是排列问题还是组合问题? 提示:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键是看所选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合问题. 1.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有 ( ) A.9个 B.24个 C.36个 D.54个 解析:选出符合题意的三个数有 =9种方法, 每三个数可排成 =6个三位数, ∴共有9×6=54个符合题意的三位数. 答案:D 2.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后,恰有3个空车位连在一起的排法有 ( ) 3.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法种数是 ( ) 解析:解决“至多”“至少”问题时通常考虑间接法,“至少有1件次品”的反面是“全是正品”,故选C. 答案:C 【例1】 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,男生不能排在一起; (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (7)排成前后两排,前排3人,后排4人; (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有3人. (1)涉及有限制条件的排列问题时,首先考虑特殊位置上元素的选法,再考虑其他位置上的其他元素(这种方法称为特殊元素或特殊位置法);或者,先求出不加限制条件的排列数,再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法),这是解排列题的基本策略.所谓“捆绑法”与“插空法”,实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果. (2)数字问题是排列中的一类重要问题.一般地,有大小要求的排数问题要注意首位数字,有奇偶要求的问题要注意个位数字,有数位要求的问题要注意0的位置,有重复多减的要将多减的部分补算回来. 变式迁移 1(1)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有________种. ( ) A.720 B.360 C.240 D.120 (2)有6人排成一排,其中甲、乙之间至少有一人的排法种数有 ( ) A.480 B.720 C.240 D.360 答案:(1)C (2)A 【例2】 某校有6间不同的电脑室,每天晚上至少开放2间,欲求不同安排方案的种数,现有四位同学分别给出下列四个结果: 其中正确的结论是 ( ) A.仅有① B.仅有② C.②和③ D.仅有③ 组合问题与顺序无关,解题时首先判断是组合问题还是排列问题.本题中用到了两种方法:一是分类的方法,即把“至少开放2间”分为5种情况解决;二是正难则反的方法,即考虑问题的反面,再用总的结果数减去反面的结果数即可.本题总的结果数26是用分步乘法计数原理得出的. 变式迁移 2 (2009·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 ( ) A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 【例3】 (2009·天津高考)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答). 思路分析:3个数字之和为偶数,这3个数字只能都是偶数或2个奇数1个偶数,按照这个规律进行分类解决. 本题以“个位、十位和百位上的数字之和为偶数”为题眼,考查考生分析问题、解决问题的能力及思维的严谨性,试题给出的数字又含有数字0,考查考生分类解决问题的思想意识和解决排列计数问题的基本技能,是一道以能力立意的试题. 变式迁移 3 (2008·天津高考)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行,如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有________种(用数字作答). 【例4】 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,
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