[材料科学]42_一维近自由电子近似.ppt

* * 如果 , 则 否则 上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数 微扰矩阵元的选择定则 二级微扰能量 也即是说, 当 k 为π/a 整数倍时, 根据微扰理论, 在原来零级波函数 中, 将掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数 发散的结果实际反映, 当 k 为－nπ/a 时, 则有另外一个状态 k’ = nπ/a, 它们相差 k’ －k = 2nπ/a, 因此有矩阵元。 而且能量差为零, 从而导致了发散的结果 2. 简并微扰 它们的能量差愈小，掺入的部分就愈大 这里, 与 k 态有矩阵元的只是 k’ = k + 2nπ/a 各态 对于接近－nπ/a 的 k 状态, 例如 在周期场的微扰作用下,最主要的影响将是掺入了和它能量接近的状态 对这种情况适当的近似处理方法是, 忽略所有其它掺入的状态, 把波函数写成 然后, 直接根据波动方程去确定 a、b 以及本征值 这里比上面用的微扰方法更精确地考虑了影响最大的态, 而忽略其它态的次要影响 这种处理方法实际上就是简并微扰的方法 在简并微扰中, 原来有若干状态能量相同, 在零级微扰计算中, 根据波动方程求得这些简并态之间的适当线性组合 把波函数代入波动方程 并考虑到 得 上式分别乘以 和 并积分, 得到 a、b 必须满足的关系式 其中用到 以及 方程有解的条件 即 它的解给出本征值 分别讨论两种情况: 表示 k 离－nπ/a 较远, 和 k’ 态能量还有较大的差别。按 展开, 得 结果和前节对 k 和 k ’ 的一般微扰计算结果相似, 只不过在 k 的情形只保留了 k’ 项的影响, 在 k’ 的情形只保留了 k 项的影响 相互影响的结果是使原来能量较高的 k’ 态提高, 原来能量较低的 k 态下压 这里假设了 k 和 k’ 对应于 Δ0 (即 ）的情形 是量子力学中普遍的结果, 微扰作用下相互影响的两个能级, 总是原来较高的能量升高, 原来较低的能量下降 能级间“排斥作用” 这表示 k 很接近 －nπ/a 的情形, 对 展开到一级得到 具体写出 得到 以抛物线形式趋于 两个相互影响的状态 微扰后能量为 E－ 和 E+ 态原来能量 较低 微扰使它下降; 能量 较高, 微扰使它上升 Δ0 和 Δ0 得到完全对称的 Ek 曲线 A 和 C(以及 B 和 D)实际代表同一状态, 因为它们是从Δ0 和Δ0 两方当 Δ→0 的共同极限 二、能带和能隙 在零级近似中, 电子被看成自由粒子, 能量本征值 Ek0作为 k 的函数, 具有抛物线的形式 在近自由电子近似模型中, 若 k 不在 πn/a 附近, 与之有相互作用的所有状态, 它们与 k 状态零级能量差大,满足可以利用 非简并微扰的结果, 这时能量的修正很小, 可忽略不计 周期起伏场的微扰, 使 k 状态只与 k +2πn/a (n为任意整数)的状态相互作用（2πn/a 是一维晶格的倒格矢） 但是当 k 取值为 (－πn/a) 时, 与之有相互作用的状态中, 存在一个(且仅有一个)(πn/a) 状态, 二者零级能量相等, 而其它状态与其零级能量差很大 当 k 取值在(－πn/a) 附近时, 在(πn/a) 附近有一个状态, 它们之间 k 相差 (2πn/a) (有相互作用), 而且零级能量相近 这两种情况, 微扰计算时只需要计入能量相等(或相近)的两个状态之间的相互影响, 这就是简并微扰的情况 微扰的结果是原来能级较高的的更高了, 原来能级较低的向下降(能级间的排斥作用) 由于周期势场的微扰, E(k) 函数将在 k 为 处断开, 能量的突变为 2|Vn| 由周期性边界条件得到的 k 对应每一个 l 有一个量子态, 它的能量可以从 E(k) 图中找出 这样把所有量子态的能级都画出来, 将得到上图右边所示的情形 当 N 很大时, k 的取值是十分密集的, 相应的能级也同样十分密集, 因此有时称之为准连续的 最重要的特点是准连续能级分裂为一系列的带 (带1) (带2) (带3) ┉ 带1 带2 带3 带隙 2|V1| 2|V2| 2|V3| 周期场中运动的电子形成能带是能带论 最基本的结果之一 各带间的间隔直接对应于 E(