[物理]7-2 微积分基本定理.ppt

* * 第二节 微积分基本公式 积分上限函数及其导数 牛顿 — 莱布尼茨公式 小结 ★ ☆ ☆ 定积分 积分上限函数 注 一定要分清函数的 设f (x)在[a,b]中连续, 则对任一点 与 自变量x 积分变量t. 一、积分上限函数及其导数 这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性. 是如图红色部分 的面积函数. 证 定理1 (原函数存在定理) 因为 从而 积分中值定理 定积分性质3 故 定理1指出: 积分联结为一个有机的整体 (2) 连续函数 f (x) 一定有原函数, 就是f(x)的一个原函数. (1) 积分运算和微分运算的关系, 它把微分和 所以它是微积分学基本定理. 函数 — 微积分, 推论 例 例 解 例 解 例 解 例 解 这是 型不定式, 分析 应用洛必达法则 证 例 证明函数 为单调增加函数. 为单调增加函数. 故 证 令 为单调增加函数. 证明: 只有一个解. 例 所以原方程 只有一个解. 或 定理2（牛顿-莱布尼茨公式） 证 如果 是连续函数 的一个原函数, 则 都是f(x)在[a,b] 因为 上的原函数, 故有 C是待定常数, 即有 二、牛顿—莱布尼茨公式 牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式 微积分基本公式 特别, 微积分基本公式表明 注 求定积分问题转化为求原函数的问题. 一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量. 仍成立. 例 原式 解 面积 例 解 平面图形的面积. 所围成的 例 解 例 解 由图形可知 注 如被积函数是分段函数, 应分段分成几个 再用牛—莱公式. 积分, 解 例 解 如被积函数有绝对值, 注 再用 去掉后, N--L公式. 应分区间将绝对值 微积分基本公式 积分上限函数(变上限积分) 积分上限函数的导数 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 三、小结 注意其推论. *