[物理]第3讲 周期函数频域分析.ppt

第二章 连续信号的分析 第二节连续信号的频域分析 连续信号的频域分析与性质 连续周期信号的频谱分析——傅里叶级数 连续非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 傅里叶变换的基本性质及应用 能量谱与功率谱 一、连续周期信号的频谱分析 傅里叶级数 周期信号的频谱 吉布斯现象 傅里叶级数 三角函数形式的傅里叶级数 2.复指数形式的傅里叶级数 周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 2．奇函数 吉布斯（Gibbs）现象 (二)周期信号的频谱及其特点 3. 频谱的特性 (3) 信号的有效带宽 0~2? /? 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即 信号的有效带宽与信号时域的持续时间?成反比。 即? 越大，其Bω越小；反之，??越小，其Bω 越大。 二、周期信号的频谱及其特点 3. 频谱的特性 (3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。 信号的有效带宽有多种定义方式。 例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的Fourier级数表示式。 解： 由图可知 * * 工程中存在各种各样的周期函数，用一般的数学方法描述分析它们的频率特性既不直观，而且有时还存在困难。三角函数集和复指数函数集在一个周期内都是完备的正交函数集，将周期函数展成三角函数形式或复指数形式的傅里叶级数在信号分析和系统设计中具有重要的意义。 连续周期信号的频域分析 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量通过系统后的变化。 意义： (一)、周期信号的傅里叶级数展开 1. 周期信号展开为傅里叶级数条件? 周期信号f (t)应满足狄里赫利条件，即： (1) 在一个周期内绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。 注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。 (一)周期信号的傅里叶级数展开 2.?三角函数形式傅里叶级数? 其中： 函数的对称性与傅里叶级数的关系? （1）当f（t）为偶函数，即 时， 展开式中将不含正弦项 （2）当f（t）为奇函数，即 时， 展开式中将只存在正弦项 （3）当f（t）为奇谐波函数，即 ，展开 式中将不存在n为偶数的项（包括 ）。 说明： 关 系 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*奇函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数 1、偶函数： 2、奇函数： 则f(t)为偶函数时，f(t)cosnωt为偶函数 f(t)sinnωt为奇函数 取积分后，bn=0 则f(t)为奇函数时，f(t)cosnωt为奇函数 f(t)sinnωt为偶函数 取积分后，a0=an=0 (一)周期信号的傅里叶级数展开 2. 三角形式傅里叶级数 纯余弦形式傅里叶级数 其中 称为信号的直流分量， 称为信号的n次谐波分量。 (一)周期信号的傅里叶级数展开 3.?复指数形式傅里叶级数? 连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为 其中 两项的基波频率为f1，两项合起来称为信号的基波分量 的基波频率为2f1，两项合起来称为信号的2次谐波分量 的基波频率为Nf1，两项合起来称为信号的N次谐波分量 物理含义： 周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 三角形式 指数形式 小结 1.偶函数 信号波形相对于纵轴是对称的 小结 小结 注意 复指数形式表示的傅里叶级数和三角函数表示的傅里叶级数是同一个函数的两种不同表示方式，只是采用的数域不同。 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。 解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫利的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。 因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的