[物理]量子力学3 力学量-1qz.ppt

（1）算符相等 思考题 　　　是否是厄米算符？ §3.2 力学量的算符表示 （4）算符 力学量 波函数的关系 算符 力学量 表示 量子力学中的一个基本假定 如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态 时，力学量 有确定值，这个值 就是 在本征态 中的本征值。 量子力学中 波函数 不可测量 力学量 可测量 表示力学量的算符的本征值必为实数 定理：厄米算符的本征值为实数，因此 表示力学量的算符必为厄米算符。 厄米算符的定义 为任意函数， 称为厄米算符。 积分遍及变量的整个定义域。 * 第三章 量子力学中的力学量 （一）算符定义 （二）算符的一般特性 §3.1 算符的运算规则 算符：作用在一个函数上得到另一个函数的运算符号 算符代表对波函数（量子态）的运算。 其中 u 和 v 都代表一个函数，那么 就是一个算符 这些 都是算符。 （一）算符定义 若两个算符 ?、?对体系的任何波函数 ψ的运算结果 都相同，即?ψ= ?ψ，则算符? 和算符? 相等记为? = ?。 （2）算符之和 若两个算符 ?、? 对体系的任何波函数ψ 有： ( ? + ?) ψ= ?ψ+ ?ψ= êψ 则? + ? = ê 称为算符之和。 例如：体系Hamilton 算符 （3）算符之积 若? (? ψ ) = (??) ψ =êψ 则?? = ê 其中ψ是任意波函数。 一般来说算符之积不满足交换律，即 ?? ≠ ?? 这是算符与通常数运算规则的唯一 不同之处。 （4）对易关系 若?? ≠ ??，则称? 与 ? 不对易。 显然二者结果不相等，所以: 对易关系 但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。 量子力学中最基本的 对易关系。 若算符满足 ?? = - ??， 则称 ? 和 ? 反对易。 注意： 当? 与 ? 对易，? 与 ê 对易，不能推知 ? 与 ê 对易与否。例如： （4）对易括号 为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [?,? ]≡?? - ?? 这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式： 返回 （4）对易括号 不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [?,?] = - [?,?] 2) [?,?+ê] = [?,? ] + [?, ê] 3) [?,?ê] = [?,?]ê+ ?[?,ê] 4) [?,[?,ê]] + [?,[ê, ?]] + [ê,[ ?,?]] = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。 返回 （5）线性算符 ?(c1ψ1+c2ψ2)= c1?ψ1+c2?ψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 满足如下运算规律的 算符 ? 称为线性算符 例如： 开方算符就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。 （6）逆算符 1. 定义: 设?ψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义 算符 ? 之逆 ?-1 为: ?-1 φ = ψ 并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆. 2.性质 I: 若算符 ? 之逆 ?-1 存在,则 ? ?-1 = ?-1 ? = I , [? , ?-1] = 0 证: ψ = ?-1φ = ?-1 (? ψ) = ?-1 ? ψ 因为ψ是任意函数,所以?-1 ? = I成立. 同理, ? ?-1 = I 亦成立. 3.性质 II: 若 ?, ? 均存在逆算符, 则 (? ?)-1 = ?-1 ?-1 例如: 设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛 则可定义算符 ? 的函数 F(?)为: （7）算符函数 （8）复共轭算符 算符?的复共轭算符 ?*就是把?表达式中 的所有量换成复共轭. 例如: 坐标表象中 利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,?→ 0。 （9）转置算符 由于ψ、φ是 任意波函数, 所以 同理可证: （9）转置算符 (10)厄密共轭算符 由此可得：: 转置算符 的定义 算符 ? 之厄密共轭算符 ?+ 定义: (10)厄密共轭算符 厄密共轭 算符亦可 写成： 可以证明: (? ?)+ = ?+ ?+ (? ? ?...)+ = ... ?+ ?+ ?+ (