二数学矩阵的运算.pptVIP

上海八中 许颖 龙春朝 2009年12月9日 为了公平合理真实地反映学生在校学习情况，将平时成绩的30%，期中考试的30%，期末考试的40%相加生成学期总评记入学生学习档案。有甲、乙、丙三位同学的语文、数学、英语三门功课的期中、期末成绩如下表所示： 语文 数学 英语 平时 期中 期末 平时 期中 期末 平时 期中 期末 甲 80 70 75 90 80 85 70 80 75 乙 90 70 80 80 80 75 80 90 85 丙 60 80 70 80 90 95 90 80 85 （1）如何用矩阵表示三位同学各科在平时、 期中、期末的成绩？ （2）如何得到这三位同学在平时、期中、期末时， 语文、数学、英语三门课的总成绩？ （3）如何得到这三位同学在期中、期末各科成绩 的增幅？ （4）如何求三位同学的总评成绩？ 若矩阵A和矩阵B的行数与列数分别相等，则A和B叫做同阶矩阵。 若A=(aij)和B=(bij)是同阶矩阵，且矩阵A中每一个元素与矩阵B中相同位置的元素都相等，即aij=bij，则称两矩阵相等，记做A=B。 我们把m行n列矩阵的第i行第j列元素用圆括号括起来表示矩阵，记为A=(aij) 1. 可用A=(aij)表示矩阵 2. 同阶矩阵 3. 矩阵的相等 问题一：已知A2?2= ，B2?2= ， 若A=B，求x、y、u、v. 解： ∴x=1, y=3, u=4, v=6. ∵A=B 1. 矩阵的和与差 记作:A+B 上述运算叫做矩阵的加法（减法）. （相减cij=aij-bij） 当两个矩阵A，B的行数和列数分别相等时， 将它们对应位置上的元素相加 i=1,2,…,m；j=1,2,…,n cij=aij+bij 所得到的矩阵cij称为矩阵A,B的和 （差）， （A-B） 语文 数学 英语 平时 期中 期末 平时 期中 期末 平时 期中 期末 甲 80 70 75 90 80 85 70 80 75 乙 90 70 80 80 80 75 80 90 85 丙 60 80 70 80 90 95 90 80 85 各科平时成绩用矩阵A表示，期中成绩用矩阵B表示， 期末成绩用矩阵C表示。 A = 80 90 70 90 80 80 60 80 90 问题二： 平时、期中、期末总成绩用矩阵D表示，期中、期末成绩的增幅用矩阵E表示，求矩阵D和E。 D = 225 255 225 240 235 255 210 265 255 E = 5 5 -5 10 -5 -5 -10 5 5 甲同学在期末考试中， 语文和数学成绩都有提高， 英语成绩有所下降。 A+B+C = C-B = 3. 由实数的加法有交换律和结合律， 可类比得到同阶矩阵的加法满足： A+B=B+A 加法的交换律 (A+B)+C=A+(B+C) 加法的结合律 1. 只有同阶矩阵的加、减才有意义； 两同阶矩阵的加、减是它们对应位置的元素 相加减； 设k为任意实数，把矩阵A的所有元素与k相乘 得到的矩阵叫做矩阵A与实数k的乘积矩阵. 记作：kA （kA=(kaij)） 2. 数与矩阵的积 问题三：(1)计算甲、乙、丙三位同学平时、期中、 期末各科平均成绩对应的矩阵F。 D = 225 255 225 240 235 255 210 265 255 A+B+C = = = A = 80 90 70 90 80 80 60 80 90 F= (2)求三位同学的学期总评对应的矩阵G A = 80 90 70 90 80 80 60 80 90 由平时成绩的30%，期中考试的30%，期末考试的40% 相加生成学期总评成绩。 = 0.3?80+0.3?70+0.4?75 75 90?0.3+80?0.3+85?0.4 85 75 78 75 70 89 85 G= 数与矩阵的乘法满足： 1. 分配律 k(A+B)=kA+kB (k+l)A=kA+lA 结合律 (kl)A=k(lA)=l(kA) 2. 移项法则 A+B=C?A=C-B或B=C-A 加法与减法的互化 A-B=A+(-1)B （1）将二元一次方程组 用矩阵的 运算来表示； （2）讨论方程组存在唯一解的条件。 解：（1）原方程组可以表示为： （2）当向量 与 不平行时