[理学]02_大学数学二-矩阵论.ppt

3. 初等变换求矩阵的秩 定理4.3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变 例： 解： 阶梯形 r ( A ) = 3 进一步 A A的标准形 注：若A 为 n 阶满秩方阵，则其标准形为 n 阶单位阵E。 结论： (1) 0 0 0 0 0 0 (2) k为正整数时 0 0 k 0 0 3. 上三角矩阵 0 其中 aij = 0, i j 下三角矩阵 其中 aij = 0, i j 0 4. 对称矩阵 (1) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵。 (2) 若方阵A满足 AT = －A，即 aji = －aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, … n) 例3.1 设A为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵，A－AT 为反对称阵 证： 由于 故 A+AT为对称阵，A－AT 为反对称阵 三、方阵及其行列式 1. 方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det (A) 若 |A| ? 0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。 2. 性质： (1) | ? A | = ? n | A | (2) | A B | = | A | | B | 例如： 有 而 所以 | A B | = | A | | B | (3) | A m | = | A | m | A 1 A 2 … A m | = | A 1| | A 2 | … | A m | 推广： 四、分块矩阵 如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。 1. 定义3.2 例如： A11 A12 A21 A22 例 3.2 设 利用分块矩阵求 A+B，AB。 解：将A、B分块成 则 而 故 而 考察： AT 对于 有 2. 分块矩阵的转置 注：设矩阵A = ( aij ) m?n 分块为 则 3. 准对角矩阵 若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵， 则称A为准对角矩阵。 定义3.3 0 0 ( Ai 为方阵， i = 1,2,…，m) 即： A 例如： 0 0 为准对角矩阵。 §4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 一、矩阵的初等变换 定义 4.1 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换 (1) 互换两行 ( 记作 ri ? rj ); (2) 以数 ? ? 0 乘以某一行 ( 记作 ? × ri ); (3) 将第 j 行各元素乘以数?后加到第 i 行的对应元素上去 (记作 ri + ? rj ) 相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。 二、初等矩阵 定义4.2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 (1) ri ? rj ci ? cj 也得到 P (i, j) 第 i 行 第 j行 (2) ? × ri ? × ci 也得到 P ( i (?)) 0 0 第 i 行 (3) ri + ? rj cj + ? ci 也得到 P ( i, j (? ) ) 第 i 行 第 j 行 定理4.1 对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵； 例如： 设A是一个 m × n 矩阵 (1) A r1 ? r2 P(1, 2) A (2) A c3 ? c4 A P(3, 4) 二、矩阵的秩 1. k 阶子式 定义4.3 设 A 为 m×n 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 (1 ? k ? min (m, n))，由这 k 行，k 列的交叉处的 k2 个元素(按原来的前后顺序)所构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k 阶子式。 例如： 一个2阶子式 例如： 一个2阶子式 一个3阶子式 (1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式 (2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A | 注： 2. 矩阵的秩 例如： r(A) = 3 定义4.4 矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r (A)。 ( 显然 r (A) ? min (m, n) ) 规定： 注： (1) 非奇异矩阵A，有 | A | ? 0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵。 (2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。 定理4.2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为0，而所有 k+1 阶子式全为0，则 r ( A ) = k。 零矩阵的秩为0，即 r (O) = 0 * 大学数学 （二） 脚本编写：曾金平 刘楚中 课件制作：曾金平 刘