[理学]02第二章3.ppt

代数与几何 第三节 空间平面及其方程 第三节 空间平面及其方程 一、平面的点法式方程 1 二、平面的一般式方程 特殊方程所对应的平面 特殊情形 例1. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例2. 例3 三、平面的三点式方程 四、平面的截距式方程 例5 例6 五、两平面间的关系和平面束 五、两平面间的关系和平面束 两平面间的关系 两平面间的夹角 例8 求两平面 例11. 一平面通过两点 平面 束 平面束 思考题 思考题 小 结 作 业 * 第九讲 周 圣 武 内容提要 1.平面的点法式方程 2.平面的一般式方程 3.平面的三点式方程 4.平面的截距式方程 5.两平面间的关系 6.平面束 一、平面的点法式方程 与平面垂直的非零矢量叫做该平面的法矢量, 其坐标向量称为该平面的法向量。 显然，平面上任一个矢量都与其法矢量垂直。 给定一点及一个非零矢量，就可以确定唯一的一个过该点且以该矢量为法矢量的平面。 给定一个平面，在其上任取一点及其一个法矢量，则这个平面就是过取定点且垂直于所取矢量的平面。 因此，平面可用一点及一个法矢量确定。 设 P0(x0, y0, z0) 是平面 π上的一点， 为平面π的法矢量。 P(x, y, z)在平面 π上 即 称这个方程为平面的点法式方程。 显然，对于不在该平面上的点 M， 由于 这个方程。 不垂直，就不满足 将平面 π 的点法式方程式 A(x—x0)+B(y—y0)+C(z—z0)=0 整理得 Ax+By+Cz+D=0 其中 D= —( Ax0+By0+Cz0) 称这个方程为平面 π 的一般式方程。 =任一平面都可用一个三元一次方程表示。 反之，任给的一个三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0, A, B, C不全为零 表示一个平面，其法向量为 （1）当 D = 0 时， =π : Ax+By+Cz+D=0过原点 （2）当 D ? 0 且 A, B, C中只有一个为零时，则平面π平行于某个坐标轴。 例如，平面π：2x+3y+1=0 的法矢量与 z 轴垂直， =平面π平行于 z 轴。 （3）当 D ? 0且 A, B, C中只有一个不为零时，则平面π 平行于某坐标面。 例如，平面π：2x+1=0的法矢量平行于x 轴， =平面π平行于 oyz 面。 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 =平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 解 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 求过点M ( 1, 0, 5) 且与xoy面平行的平面方程. 解 由题意设所求平面为 将已知点 M(1 ,0 ,5)代入 所求平面为 已知平面 π 过点 M0(2, 1, 0), 且平面 π 平行于向量 a =( 1, 0, 1), b=(0, 1, 0) 试求平面 π 的方程 以及平面 π 过点 M0(2, 1, 0), 可得平面 π 的方程 —1（x—2）+0（y—1）+（z—0）=0 即 x—z—2=0 解 由于π 平行于向量a , b，因此 π 与a ? b垂直，可以取a ? b为π 的法向量，由 例2 设 是空间中不共线的三点，求过三点 M1, M2, M3的平面π的方程 三点式方程 例3 答案： 求通过点A(0,-1,3), B(1,1,-2), C(-1,2,-1)的平面方程 答案： 例4 设平面π与x,y,z轴分别交于P(a,0,0),Q(0,b,0)和R(0,0,c)，求平面π的方程 截距式方程 答案： 一个不过原点的平面与x轴, y轴, z轴 三个交点的横坐标、纵坐标、竖坐标的三个非零分别称为该平面在 x轴, y轴, z轴上的截距。 已知一平面过点（－1，0，－3），且在三个 轴上的截距之比为 求此平面方程。 解：设所求方程为 又知平面过点（－1，0，－3）于是有 所求平面方程为 求通过点A(2,