[理学]03-1函数极限概念.doc

第三章 函 数 极 限 §1 函数极限概念 一 趋于时函数的极限 设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数 x=5:50; y=1./x;plot(x,y,r), axis([5,55,0,0.22]) 从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0； 而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这两个函数当时有极限。 clf, x=0:50; y=atan(x); plot(x,y,r), axis([0,55,0,1.7]) 一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下： 定义1 设定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正 数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极 限，记作 或 。 在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数。因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值。 定义1的几何意义如下图所示， 对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线 与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。 现设为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近某定数，则称当或时以为极限，分别记作 或 或 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或“”即可。 显然,若为定义在上的函数，则 （1） 证明 。 证 任给，取 ，则 当 时有 所以 。 例2 证明：1）； 2） 证 任给，由于 （2） 等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围。为此，先限制，则有 故对任给的正数 ，只须取，则当时便有（2）式成立。这就证明了1）。类似地可证2）。 注 由结论（1）可知，当时不存在极限。 二 趋于时函数的极限 设为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数。这类函数极限的精确定义如下： 定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 。 下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的。 例3 设，证明 。 证 由于当时，， 故对给定的，只要取，则当时有。这就证明了。 证明：1）； 2） 证 先建立一个不等式：当时有 （3） 事实上，在如图3-2的单位圆内，当时，显然有 ， 即 ，由此立得（3）式。 又当时有，故对一切都有；当时，由得。综上，我们又得到不等式 ， （4） 其中等号仅当时成立。 现证1）。由（4）式得 。 对任给的，只要取，则当时，就有。 所以。2）的证明留给读者作为练习。 证明 。 证 当时有 若限制于（此时），则 。于是，对任给的，只要取，则当时，便有。 证明（） 证 由于，，因此 于是，对任给的（不妨设），只要取，则当时，就有 。 应用定义还立刻可得 ， 这里为常数，为给定实数。 通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点： 定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于， 但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨。如在例3中可取或等等。 定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在 点处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势。如在例3中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数。 定义2中的不等式等价于，而不等式 等价于。于是，定义又可写成： 任给，存在，使得对一切有。或更简 单地表为：任给，存在，使得。 4．定义的几何意义如图3-3所示。 对任给的，在坐标平面上画一条以直线 为中心线、宽为的横带，则必存在以 直线为中心线、宽为的竖