[理学]04-非线性规划.ppt

某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆 一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告，投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销 战略预期的利润最大？ 表1 表2 符号说明及问题的分析 设x表示售价（单位：元），y表示预期销售量(单位：万桶），z表示广告费（单位：万元），k表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s 获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期 销售量 y 随着售价x 的增加而单调下降，而销售增长因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加时反而有所回落，为此可用Matlab画出散点图. 文件名：graph1.m x=(2.0:0.5:6.0); y=[4.1,3.8,3.4,3.2,2.9,2.8,2.5,2.2,2.0]; plot(x,y,r*) title(售价和预期销售量关系图) xlabel(售价（元）) ylabel(预期销售量（万桶）) 文件名：graph2.m x=(0:1:7); y=[1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.80]; plot(x,y,rp) title(广告费和销售增长因子关系图) xlabel(广告费（万元）) ylabel(销售增长因子) 图-２ 从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于 一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条 二次曲线。为此可令： y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是待定参数。 模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘 以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润： 由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。 模型求解 首先利用Matlab计算（1）（2）中的参数a，b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。 文件名：yihe1.m x=(2.0:0.5:6.0); y=[4.1,3.8,3.4,3.2,2.9,2.8,2.5,2.2,2.0]; [p,s]=polyfit(x,y,1) plot(x,y,k*,x,polyval(p,x),k-) title(售价和预期销售量拟合图) xlabel(售价（元）) ylabel(预期销售量（万桶）) 运行后得结果： 　　b=-0.5133, a=5.0422 (即直线方程为y=-5133x+50242) 图-3 文件名：yihe2.m x=(0:1:7); y=[1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.80]; [p,s]=polyfit(x,y,2) plot(x,y,kp,x,polyval(p,x),k-) title(广告费和销售增长因子关系图) xlabel(广告费（万元）) ylabel(销售增长因子) 运行后得结果： 　　 e=-0.0426 d=0.4092 c=1.0188 即抛物线方程为 y=-0.0426*10^(-10)x^2+0.4092*10^(-5)x+1.0188 图-4 即： 其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅能求极小值，为此将优化模型转化为 得到x=5.9113，z=33116，函数P达到最大值116655。 Matlab程序如下：　　　　　　　 子函数nch221： 　　function f=nch221(x) 　　a=50422.2; 　　b=-5133.33; 　　 c=1.01875; 　　 d=4.09226*10^(-5); 　　 e=-4.25595*10^(-10); 　　 f=x(2)-(c+d*x(2)+e*x(2)^2)