[理学]04二元关系.ppt

离散数学 五种性质成立的充要条件: 设R为A上的二元关系: (1) R为A上的自反关系当且仅当IA?R (2) R为A上的反自反关系当且仅当R∩IA=? (3) R为A上的对称关系当且仅当R=R?1 (4) R为A上的反对称关系当且仅当R∩R?1? IA (5) R为A上的传递关系当且仅当R ?R?R 例如：A={0,1,2}, B={a,b} ，则BA={f1,f2,…f8}, 这8个元素分别是？？ 设A，B为集合，记BA为所有从 A到B的函数 构成的集合。”读作B上A” BA={f | f: A ? B } f1={0,a,1,a,2,a}; f2={0,a,1,a,2,b}; ……….. f8={0,b,1,b,2,b}; 离散数学 一、函数的概念（续） 集合A在函数F下的象： 如F: Z ? Z，F (x) = x2，则F ({ -1, 0, 1 }) = { 0, 1 } F: Z ? R，F (x) = ex，则F ({ -1, 0, 1 }) = { e-1, 1, e } 设F : A ? B，A ? A， 则F(A) = { F (x) | x?A}称为A在F下的象。 当A= A时，称F (A) = F (A) = ran F是函数的象。 离散数学 二、函数的性质 设函数F : A ? B 1、满射：若ran F = B，则称F是满射的(到上的)。 2、单射：若对任意的x1, x2 ?A，x1 ? x2 ，都有 F (x1) ? F (x2) ，则称F是单射的(一一的) 。 3、双射：若F 既是满射的又是单射的， 则称F是双射的(一一到上的)。 离散数学 二、函数的性质（续） 例16：确定下列F是否为A到B的函数。若是则 指出其是否为单射、满射或双射的。 (1) A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9} F = { 1, 6, 3, 5, 4, 7, 2, 8 } (2) A, B 同上，F = { 1, 6,3, 5,4, 7,2, 6 } (3) A, B 同上，F = { 1, 6,3, 5,4, 7,1, 8 } (4) A, B为实数集，F (x)= x2 - x (5) A, B为实数集，F (x)= 1/x (6) A, B为实数集，F (x)= x/(x2 +1) (1) F是从A到B的函数，是单射的，不是满射的。 (3) F不是从A到B的函数。 (2) F是从A到B的函数，不是单射的，不是满射的。 离散数学 (4) F是从A到B的函数，不是单射的，不是满射的。 二、函数的性质（续） 例16：确定下列F是否为A到B的函数。若是则 指出其是否为单射、满射或双射的。 (5) F不是从A到B的函数。 (6) F是从A到B的函数，不是单射的，不是满射的。 (4) A, B为实数集，F (x)= x2 - x (5) A, B同上，F (x)= 1/x (6) A, B同上，F (x)= x/(x2 +1) 离散数学 (2) F : N ? N ? N ，N为自然数集， F (x, y) = | x2 – y2| 。 解：对任意x, y,u, v?R ? R, 且x, y ? u, v, 二、函数的性质（续） 例17：判断下列函数的单射、满射和双射性。 (1) F : R ? R ? R ? R，R为实数集， F (x, y) = x + y, x – y 。 假设有 x + y, x – y = u + v, u – v 因此一定有 x + y, x – y ? u + v, u – v ， 则有 x + y = u + v 和 x – y = u – v 联立两式解得：x = u且y = v, 即函数具有单射性。 它与x, y ? u, v矛盾， 离散数学 二、函数的性质（续） 例17：判断下列函数的单射、满射和双射性。 (1) F : R ? R ? R ? R，R为实数集， F (x, y) = x + y, x – y 。 又，对任意u, v?R ? R，假设存在x, y?R ? R， 满足F (x, y) = u, v ， 于是，ran F = R ? R 即 x + y = u 且 x – y = v 联立两式解出：x = (u + v)/2 且 y = (u – v)/2, 即函数具有满射性。因此，该函数具有双射性。 则有 x + y, x –