[理学]09电信《复变函数》第三讲.ppt

作 业 P66 2(1)(3) 3(2)(4) 4 P67 8 * 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念 §2.1 解析函数的概念 一. 复变函数的导数 (1)导数定义 定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D， 如果极限 存在，则称函数 f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。 (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) 例1 (2)求导公式与法则 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0. ② (zn)?=nzn-1 (n是自然数). 证明 对于复平面上任意一点z0，有 ----实函数中求导法则的推广 ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则 [f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z)， [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z) ④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z)， 其中w=g(z)。 ⑤ 反函数的导数 ，其中: w=f (z) 与z=?(w)互为单值的反函数，且??(w)?0。 思考题 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？ 例2 解 解 例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。 证明 (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。 (3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续. ? 二. 解析函数的概念 定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。 定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。 1. 解析函数的充要条件 2. 举例 §2.2 解析函数的充要条件 如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 问题 如何判断函数的解析性呢？ 一. 解析函数的充要条件 记忆 定义 方程 称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程). 定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x,