[理学]1-7无穷小与无穷大.ppt

第七节 一、 无穷小的概念与性质 注 1° 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小的性质 定理1.9 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 . 例1 二、无穷小的比较 2.定义1.6 例2 证明: 当 例3 4. 等价无穷小代换法 定理1.12 例4 问：下列推导是否正确？ 注 三、 无穷大 2. 几何意义 例5 证明 注 4° 5° 无穷大与无界函数的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 例6 求 4. 无穷大的比较 思考题 思考题解答: 解 2. 备用题例3-1 例3-2 例4-1 求 例4-2 例6-1 反例： (2)若 则称 y 是比 z 高阶的无穷大; (1)若 (3)若 设 是自变量同一变化过程中的无穷大, 则称 y 与 z 是同阶无穷大; 则称 y 是z 的 k 阶 k 0为常数, 无穷大. 例如,当 x →∞ 时, 是x的三阶无穷大; 而多项式 是与 同阶的 无穷大. 定义1.8 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 4. 无穷小与无穷大的关系 3. 无穷小的比较及无穷大的比较 ～ ～ ～ ～ 常用等价无穷小 : 5. 等价无穷小替换定理 内容小结 ～ 用等价无穷小代换的方法求下列极限: 解 1. 可推得 解 高阶的无穷小 . 哪一个是高阶无穷小. 通过商的极限说明阶的高低 解 则将其与 作商， 所以， cosx-cos2x是x的2阶无穷小. 解 解 非零因子的极限可先求出 ～ ～ 一、 无穷小的概念与性质 无穷小与无穷大 二、无穷小的比较 三、无穷大 第一章 定义1.5 若 时 , 则称函数 例如： 函数 x－1是 的无穷小; 函数 是 的无穷小; 为 时的无穷小 . 1. 无穷小的概念 时 , 时的无穷小 . 称为当 的无穷小 . (4) 以零为极限的数列 都是 时的无穷小 . 函数 的无穷小. 是 除 0 以外的任何常数都不是无穷小，无论它多么小 ! 因为 当 时, 所以 C 只能是 0 ! C C 2°不能笼统地说某函数是无穷小， 而应当说函数 是自变量趋向某个值时的无穷小. 例如，说 是无穷小”是不对的 ; 函数 当 时为无穷小. “函数 而应当说 ， 其中? 为 时的无穷小 . 证 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 定理 1.7 时, 有 定理1.8 有限个无穷小的和仍为无穷小. 证 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小 . 注 1° 上述结论对于自变量的任一极限过程 (如：x ? ? )均成立； 例如， 解答见课件第六节 例1 2° 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小 ! 证 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 就有 故 即 是 时的无穷小 . 无穷小与常量的乘积是无穷小 . 推论 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 . 定理1.10 无穷小除以具有非零极限的函数 所得的商仍为无穷小 . 求 解 利用定理 1.9, 可知 推论 1 都是无穷小, 1.引例 极限不同, 反映了无穷小趋于 0 的“速度”是多样的 . 观 察 各 极 限 不可比 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, (1)若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 记作 (2)若 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; (3)若 (4)若 或 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小， 则称? 是 与? 等价的无穷小, 记作 记作 (5)若 则称 ? 是关于? 的 k 阶无穷小. 例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 时, ～ 证 ～ 解 通过商的极限说明阶的高低 故当x?1时, 1?x 与1?x3 是同阶无穷小但不等价. 3. 常用的等价无穷小 以后证明 且 存在 , 则 证 例如, 定理1.11 设 ～ ～ 证 即 即 例如, ～ ～ 故 ∴ 原式 解 解 错 ∵ ∴ 错误原因： ～ 不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小 代换时，要用与分子或分母整体等价的无穷小代换. 对于代数和中各无穷小, 一般不能分别 代换. 即遇无穷小 “+”, “?”时, 不能随便 代换； 1° 2° 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价 无穷小进行代换. 定义1.7 若? M 0 , 当 时， 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使得 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 ? 1. 无穷大的概念 证 ? M 0, 要使 只要 故取 则当 时， 有 即 渐近线 1° 不可把无穷大与很大的固定的