[理学]105 三重积分2.ppt

解 例5：求密度为 ? 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量。 取球心在坐标原点，z 轴与 l 轴重合 并设球的半径为 a , 则 五、引力------自学 利用定积分可以解决平面上一个细棒对细棒之外 一个质点的引力问题。 问题：如何求一空间立体 ? 对 ? 外一质点的引力？ （1）空间两质点间的引力 问题：如何求该空间立体 ? 对 ? 外一质点的引力？ ) , , ( 0 0 0 z y x ) , , ( z y x ) , , ( 0 0 0 z y x ) , , ( z y x 问题：如何求该薄片对空间一单位质点的引力？ ) , , ( 0 0 0 z y x ) , , ( 0 0 0 z y x 解 由区域的对称性知 解 由积分区域的对称性知 所求引力为 作业：习题10--5: 1, 4, 7, 9, 11 14,17 10.5 三重积分(2) 重点：会用直角坐标，柱面坐标，球面坐标将三重积分化为三次积分进行计算 理解：三重积分的概念了解：三重积分的性质 规定： 一、利用柱面坐标计算三重积分 柱面坐标： 柱面坐标与直角坐标的关系为 在柱面坐标系中，三个坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 柱面坐标的实质就是将 xoy 面上的点用极坐标表示。 问题：如何在柱面坐标系中计算三重积分？ 如图，柱面坐标系中的体积元素为 问题：在柱坐标下，体积元素 再将柱坐标下的三重积分 化为三次积分。 在直角坐标系中 问题：如何将柱坐标下的三重积分化为三次积分？ 此为 ? 的柱坐标表示 首先将 ? 用柱面坐标表示 问题：如何将柱坐标下的三重积分化为三次积分？ 在下列情形下，比较适合用柱坐标计算 （1） ? 在坐标面上的投影区域用极坐标表示 比较简单。如 圆柱体： 圆锥体： 旋转抛物面： （2） 被积函数具有以下特征 解 知曲面与平面的交线为 解 解 知两曲面的交线为 解 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， 二、利用球面坐标计算三重积分 球面坐标： 点 M 到原点的距离记为 r , 有向线段 OM 与 z 轴正向的夹角记为 ? ， 自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段 OP 的角度记为 ? 在球面坐标中，规定 球面坐标与直角坐标之间的关系 球面坐标中，三坐标面分别为 圆锥面 球 面； 半平面． 球面坐标系中的体积元素为 问题：如何化球坐标下的三重积分为三次积分？ 问题：如何化球坐标下的三重积分为三次积分？ （1）? 是一个包含原点在内的封闭曲面，则 （1）? 是一个包含原点在内的封闭曲面，则 特别， ? 是一个以原点为中心，a 为半径的球面时 当 f (x, y, z) = 1 时，球的体积 （2）? 是由锥面 ? = ? 及曲面 r = r( ?, ? ) 所围，则 下列情形适合用球坐标计算 （1）积分区域是球体、锥体 或它们的一部分； （2）被积函数具有形式 解 解 解 解 1. 空间立体的质心 类似于平面的情形， 表示 ? 的质量。 三、三重积分的应用 2.立体对三个坐标轴的转动惯量 类似于平面的情形，利用元素法 同理 ) , , ( z y x