[理学]11 n阶行列式的定义.ppt

§1.1 n阶行列式的定义 * * 1.1.1 二、三阶行列式定义 引例 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 定义 即 把代数式 记做 称上式左边为二阶行列式，右边为二阶行列式按对角线展开式；横排为行，竖排为列。 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例1 解 定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 行标 列标 对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 例２ 解 按对角线法则，有 例3 解 方程左端 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 则三元线性方程组的解为: 记 定义 把n个数1,2, …,n排成一列，叫做这n个数的全排列（或排列）. n个数的所有排列的种数，通常用 表示. 1.1.2 排列 例如1234,3241,4123等都是排列. 显然 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 一个排列 中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记做 . 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个数 的逆序数，这些数字的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 例1 排列32514 中，每一个数的逆序数分别为 3 2 5 1 4 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法2 例2 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. (1)解 此排列为偶排列. (2)解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 定义 如果把一个排列中的任意两个数字对换,就得到一个新排列,我们把这样一个变换称为对换. 定理1 设 和 是由 构成的任意两个排列,则总可以由一系列对换将其中一个变为另一个. 定理2 每一个对换改变排列的奇偶性. 定理3 设n个元素的乘积 中 和 分别是两个排列，如果根据乘法交换律把 写成 ，其中 和 都是排列，则 例 利用逆序数，三阶行列式有以下公式 即 1.1.3 n阶行列式定义 定义 由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和 记作 简记作 *