[理学]11 第十一次课二元关系运算与函数11.ppt

Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理这些关系，有必要深入研究关系的性质。对A上的关系来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、反对称性、传递性。 对A上的关系R，若对任意的 都有 ，则称R为A上自反的关系；若对任意的 都有 ，则称R为A上非自反的关系　 这个定义也可以写成：　　在A上是自反的 　　在A上是非自反的  如果R是A上自反的， 则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是1（即 都1），关系图G(R)的每个顶点都有自圈。 如果R是A上非自反的， 则M(R)的主对角线元素都是0，G(R)的每个顶点都没有自圈。 例1 在非空集合A上的恒等关系 和全关系 都是自反的 。 例2 在非空集合A上的空关系 是非自反的。在集合N上的小于关系 ＜ 是非自反的。 例3 在集合 上的关系　　 　　不是自反的，也不是非自反的。 但是在非空集合A上，不存在一个关系，它是自反的又是非自反的。 设 R 为集合 A 上的关系 ，对任意的 ，若 ，则称 R 为 A 上对称的关系；若 ，则称R为A上反对称的关系。这个定义也可以写成R在A上是对称的 R在A上是反对称的 反对称性的另一种等价的定义为R在A上是反对称的  如果R是A上对称的，则M(R)是对称矩阵(对任意的i和j， ) G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者互有有向边 和 （不会只有 没有 ）。如果R是A上反对称的，则M(R)是反对称矩阵的（对任意的 ，若 则 ），G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者仅有一条有向边（不会同时有 和 ）。 例4 在非空集合 A 上的全关系是对称的 ，不是反对称的。 例5 在 上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是反对称的，且不是对称的。 例6 在非空集合 A 上的恒等关系和空关系都是对称的，也都是反对称的。 例7 在集合 上的关系　　　 　　不是对称的，也不是反对称的。　　 例6和例7说明，对称性和反对称性既可以同时满足，也可以都不满足。 设 R 为集合 A 上的关系，对任意的 ，若 ，则称R为A上传递的关系；　　这个定义也可以写成　　R在A上是传递的 例8 在集合 A 上 的 全关系 、恒等关系 、空关系都是传递的。　　 在 上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是传递的。 例9 在集合 上的关系 　　 不是传递的关系，因为 ， ，但是 。 第四章 --- 函数 数学的进步及其活力总是依赖于抽象对具体的帮助以及具体对抽象的哺育。-- M. Kac函数是一个基本的数学概念。通常的实函数是在实数集合上讨论的。这里推广了实函数概念，讨论在任意集合上的函数。 函数定义函数建立了从一个集合到另一个集合的一种变换关系，计算机执行任何类型的程序就是这样一种变换。 例如编译程序可以把一个源程序变换成一个机器语言的指令集合----目标程序。 对集合A 到集合B 的关系 ，若满足下列条件：(1) 对任意的 ，存在唯一的