[理学]11插值.ppt

1. 插值法(Interpolation Method) 已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温。 最常用的插值函数是 …? 一、插值问题解的存在唯一性？ 二、插值多项式的常用构造方法？ 三、插值函数的误差如何估计？ 1.1 代数插值问题解的存在惟一性 给定区间［a,b］上互异的n+1个节点｛xj｝(j=0，…，n )的一组函数值f(xj)，j =0，…, n，求一个n次多项式，使得 pn(xj)=f(xj)，j=0,1,…，n. …... (1) 令 pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …... (2) 只要证明Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an存在唯一即可 通过解上述方程组(3)求得插值多项式pn(x)的方法并不可取。这是因为当n较大时解方程组的计算量较大，而且方程组可能是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重。 构造基函数 对任意的pn(x)∈Pn，都有 pn(x)=c0 l0(x)+c1 l1(x)+…+cn ln(x) 其中：c0 ,c1 ,…,cn 为组合系数 几点说明：P4 1.只有在高阶导数存在时才能用 2.误差限的近似处理 3. |Rn(x)|还与|ωn+1(x)|有关，应尽量使x落在已知数据的中部。 例： 求过点(2,0)、(4,3)、(6,5)、(8,4)、(10,1) 的拉格朗日插值多项式。 例：已知 sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274, 用Lagrange插值计算sin0.3367的值，并估计截断误差。 解：f (x)= sinx ,取 于是有 可以发现，结果有六位有效数字的sin x表达完全一致。 Sin0.3367≈0.33037419155562…… 截断误差为 其中 故有 Lagrange插值公式优缺点 优点：结果清晰、紧凑，适用于作理论分析、应用； 缺点：当节点个数有所变动，整个插值公式发生变化，在实际应用时不方便。 练习 令x0=0，x1=1，写出y(x)＝exp（－x）的一次插值多项式L1(x)，并估计插值误差。 L1(x)＝1+（e-1－1）x 1/8 练习 已知： 求： 利用二次插值多项式计算 的近似值 估计误差 有效位数 10.7227 0.163×10-2 4 算法比较 n＝1 n＝2 练习 设f（x）＝x4,是利用拉格朗日余项定理写出以－1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。 L3(x)＝2x3+x2-2x 作业： P46-1 1.3 牛顿插值 （Newton’s Interpolation ） Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 li(x) 都需要重新计算。 主要内容: ● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式 ? 差商(亦称均差) /* divided difference */ Newton插值构造 差商表P10 xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …… n 阶差商 二阶向前和向后差分分别为 向前差分表P17 差分具有如下性质 性质4(差分与差商的关系): 例： 给定f(x)在等距节点上的函数值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用Newton向前、向后差分公式求f(0.5)及f(0.9) 近似值. 解： 先构造向前差分表如下: xi fi