[理学]12 行列式的性质--1.ppt

复习回顾 上一节，我们已经指出，完全用定义计算行列式是行不通的． 而三角形行列式，可以很简单的计算出结果． 如果能将行列式都能等价地转化为三角形行列式就好计算了． 为了解决行列式的计算问题，应先对它的性质进行研究． 这一节，我们将学习行列式的性质． §1.2 行列式的性质 思考 计算下列行列式的值． 例:计算下列行列式的值． 三、小结 思考题、作业 思考题: 计算n阶行列式 作业： P16:2(1)， P25:4(4). 行列式的性质共8条 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 数k乘 行列式? 等于数k乘此行列式的某一行(列) ? 行列式D与它的转置行列式DT相等? 某一行(列) 的公因子可提到行列式符号的外面? 交换行列式的两行(列) ? 行列式变号? 行列式有两行(列)完全相同? 则此行列式等于零? 行列式中有两行(列)元素成比例? 则行列式等于零. 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和? 则行列式等于两个行列式之和? 把行列式的某一行(列)的倍数，加到另一行(列)对应的元素上去? 行列式不变? 行列式性质归纳 一变，二零，五可（可转、可提（2条）、可拆、可倍加） a11 a21 a12 a22 ?a12a21? =a11a22 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 ?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 ?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31? §1 .1 n 阶行列式的概念 只适用于二阶与三阶行列式 n阶行列式的三个定义 定义 等价定义1 等价定义2 确定行列式某项的符号 用定义计算一些特殊的行列式 逆序数的计算 简记为det(aij) 或|aij| ? 上三角形行列式 对角形行列式 下三角形行列式 常用的行列式 n阶反下三角形 n阶反上三角形 n阶反对角形 一、行列式的性质 二、行列式的计算 共8条 4个例题 行列式的转置 将行列式D的行变为相同序号的列后得到的行列式, 称为D的转置行列式? 记为 DT 或者 D’ ? a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 a1n a2n … ann … … … … D= ? a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n an1 an2 … ann … … … … ? 则bij=aji(i, j=1, 2, ? ? ?, n) ? 则 DT= 显然? 如果 即 b11 b21 … bn1 b12 b22 … bn2 b1n b2n … bnn … … … … DT= ? 一、行列式的性质 证 按定义 又因行列式D可表示为 故 证毕 性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等? 性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等? 由此性质可知? 行列式中的行与列具有同等的地位? 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立? 反之亦然? 行列式的转置 将行列式D的行变为相同序号的列后得到的行列式, 称为D的转置行列式? 记为DT? a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 a1n a2n … ann … … … … D= ? a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n an1 an2 … ann … … … … ? 则 DT= 即 性质2 交换行列式的两行(列) ? 行列式变号? 证 设行列式 是由行列式 变换 i, j 两行得到的, 即当 时, 当 时, 于是 则有 即当 时, 当 时, 故 证毕 这是因为? 把这两行(列)互换? 有D??D? 故D?0? 性质2 交换行列式的两行(列) ? 行列式变号? 推论1 如果行列式有两行(列)完全相同? 则此行列式等于零? 例如 性质2 交换行列式的两行(列) ? 行列式变号? 推论1 如果行列式有两行(列)完全相同? 则此行列式等于零? 性质3 用数k乘 行列式? 等于数k乘此行列式的某一行(列)中所有的元素? 推论2 行列式中某一行(列)的所有元素的公因