[理学]12 随机变量及其分页.ppt

* LOGO §1.2　随机变量及其分布 二、离散型随机变量及其概率分布 三、连续型随机变量及其概率分布 一、随机变量 四、随机变量的数字特征 例 (1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点, ω: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点 X(ω): 1 2 3 4 5 6 (2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射击次数，则 ω 射击1次 射击2次 ...... 射击n次 ...... X(ω) 1 2 ...... n ...... (3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间, ω 候车时间 X(ω) [0, 10] 1、随机变量的概念 定义 对于随机试验，若其试验结果可用一个取值带有随机性的变量来表示，且变量取这些值的概率是确定的，则称这种变量为随机变量。 随机变量一般用 X, Y , Z ,?或小写希腊 字母?, ?, ? 等表示。 特别 离散型 连续型 取值为有限个和无穷可列个的随机变量. 可以取区间内一切值的随机变量. 定义 随机变量X的可能取值范围和它取这些值的概率称为X的概率分布。 定义域 : ? 随机性 : 随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值。 概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些值。 引入随机变量后，就可以用随机变量的等式或不 等式表达随机事件。 2、随机变量的特点 如，若用X 表示电话总机在9:00－10:00接到的电话次数，则 或 “某天9:00 － 10:00 接到的电话次数超过100次”这一事件可表示为 再如，用随机变量 描述抛掷一枚硬币可能出现的结果。 也可以用 描述这个随机试验的结果。 有一些随机现象的试验结果不是数值形式，但可以数量化。 随机变量的分布函数 定义：设X是任意随机变量，对任意实数 ， 称函数 为 随机变量X的分布函数，记为 。 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 或者无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量。 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布（分布律）表示，即 概率分布律的性质： 非负性 规范性 见P14页 例1 在“掷骰子”的试验中，用 表示事件｛出现 点 ｝，则随机变量X是均匀分布． 离散型均匀分布 说明： 离散型随机变量的概率分布可以分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表. 例2 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X 的分布律． 具体写出，即可得 X 的分布律： 解： X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10．并且 = —— 例3 已知 X 的概率分布为： 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律。 解 定义 设 X 是一随机变量,若存在一个非负可积函数 , 使得 称为X的分布函数。 则称 X 是连续型随机变量， 是它的 概率密度函数，简称为密度函数或概率密度. 二、连续型随机变量及其分布 而 概率密度函数 性质： 1、 2、 对于连续型随机变量X 刻画随机变量某些方面概率特征的数值称为随机变量的数字特征。 常用的随机变量数字特征有数学期望（均值）和方差、标准差等。 （1）数学期望（均值） 随机变量的数字特征 数学期望又称均值，是随机变量所有可能取值的平均水平，记为E(X)或 。 随机变量最重要的数字特征 对于连续型随机变量X，其数学期望（或均值）为： 例6：设随机变量X服从的概率密度为 则称X在区间上 服从均匀分布，试求其数学期望 . 解： 即 恰为区间 的中点。 (1) (4) (2) (3) 一般地，对任意 个随机变量 ，有 （2）方差和标准差 *