[理学]1315 量子物理基础1-3.ppt

大学物理学 考虑到自由粒子沿三维方向的传播 设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相关联的频率为? 、波长为?，将德布罗意关系式代入： 式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性 2、概率密度——波函数的统计解释 波函数物理意义 如何描述微观粒子的运动 根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波函数是对微观粒子运动的统计描述,即物质波是概率波, 概率波只能给出粒子在各处出现的概率。 1）大量电子的一次性行为： U 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波强度大， 大 小 波强度小， 波强介于二者之间 粒子的观点 波动的观点 统一地看：粒子出现的几率正比于 ?(r,t)代表什么？看电子的单缝衍射： 2）一个粒子多次重复性行为 较长时间以后 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波强度大， 大 小 波强度小， 波强介于二者之间 粒子的观点 波动的观点 U 统一地看：粒子出现的几率正比于 则波函数模的平方表征了t 时刻，在空间(x,y,z)处出现粒子的概率密度----波函数的物理意义. 结论： 某时刻空间某体元dV中出现粒子的几率 正比于该地点波函数模的平方和体积元 体积： 通常比例系数取1: （由叫概率分布函数） 微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的 决定性规律。 牛顿说： 只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨 迹是已知的，决定性的。 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达 某点，只给出到达各点的统计分布；即只 知道|?|2大的地方粒子出现的可能性大， |?|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出 现在什么地方，走什么路径是不知道的 （非决定性的） 物质波与经典波的本质区别 经典波的波函数是实数,本身具有物理意义,可测量。 因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。 物质波一般情况是复函数，本身无具体的物理意义,所以是不可测量的；可测量的只有 2) 对于概率波来说, 重要的是相对概率分布。故 和 描述的相对概率分布是完全相同的。 而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量 将为原来的四倍，因此,代表了不同的波动状态。即若： 等价 那么 3 、波函数的标准化条件与归一化条件（波函数必须满足的条件） 1）波函数具有有限性 在空间是有限的 2）波函数是连续的 3）波函数是单值的 粒子在空间出现的几率只可能是一个值. 4）满足归一化条件 （归一化条件） 因为粒子在全空间出现是必然事件. 波函数的标准条件：单值、有限和连续 解：利用归一化条件 例1：求波函数归一化常数和概率密度。 这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程 对于非相对论粒子 一维自由粒子的波函数 二、薛定谔方程 1、薛定谔方程的引入(并不是理论推导) 若粒子处在外力场中(非自由粒子)其粒子的总能量为： 一维薛定谔方程 三维薛定谔方程: 拉普拉斯算符 哈密顿（能量）算符 则薛定谔方程为： 算符: 就是一种运算符号，是对量子态(波函数)的操作。某物理量算符常用对应的该物理量字母上方加“^”符号表示。 2、定态薛定谔方程 如果势能函数不是时间的函数,即： 代入上式薛定谔方程中整理得： 用分离变量法将波函数写为： 只是空间坐标的函数 只是时间的函数 此方程仅是空间坐标的函数--称为定态薛定谔方程. 那么，粒子在空间出现的几率密度： 几率密度与时间无关，因此，波函数描述的是稳定态---简称定态。 ---称为定态薛定谔方程. 薛定谔方程比较（非相对论形式） 2. 定态薛定谔方程: 1. 一般形式薛定谔方程： 一维 三维 一维 三维 若 U=0（自由粒子） 设质量为m的粒子只能在 0xa 区域内的外力场中作一维运动. 势能函数为： 三、一维无限深势阱（定态薛定谔方程的应用) 因为在阱外(即：当 x 0和 x a 时)粒子势能为无穷大 方程的通解为： 由边界条件 概率分布函数 0 粒子波函数 则粒子的能量： 此能量量子化是求解态薛定谔方程时波函数必须满足 标准化条件的自然结果,而不是人为的假设。 n=1,2,3, … 在一维无限深势阱中运动的粒子，它的能量是量子化的。 若n=0，则k=0， 没有意义。 所以n=1时粒子取最低能量： E1称之为基态能量。 一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率分布函