[理学]13函数的极限.ppt

第三节 一、自变量趋于有限值时函数的极限 定义 . 设函数 例. 证明 2. 左极限与右极限 例. 设函数 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 例. 证明 两种特殊情况 : 3. （保号性定理） 5、 复合函数的极限运算法则 例. 求 例. 求 五、 两个重要极限 例. 求 例. 求 2. 例. 求 例. 求 注. 两个重要极限 作业 第一章 自变量变化过程的六种形式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 1. 时函数极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 极限存在 函数局部有界 这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 . 因为 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理常用来判断分段函数在分段点的极限存在与否。 存在时， 例. 设函数 问 解: 因为 所以要使 存在，必有 故 定义 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一的． 三、函数极限的性质 2.(有界性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限存在， 则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界． 若 且 A 0 , 则存在 ( A 0 ) 定理 设 ,则 四、极限的运算法则 下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立. 其中自变量x的趋势可以是 等各种情形. 1. 极限的四则运算 （对数列也有类似的结论） 定理中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论. 推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有 推论2 设limf(x)存在，则对于正整数k，有 例 解 2. ，一般地，设有多项式(有理整函数) 则有 即 例 解 3. ，设有理分式函数 说明对于有理函数求关于 的极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用. 例 解 例 解 例 ，然后再求极限，得 分母同时除以 分子, 3 x 解 4. ， 一般地,对于有理分式有： 其中n,m为正整数 则 注：复合函数求极限时，可做变量代换 ，先求中间变量的极限 ，再求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① 定理. 设 满足： ②当 时， ，且 解: 令 已知 ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边夹准则： 如果对于x0的某邻域内的一切 x ( 可以除外)，有 ，且 则 6、函数极限存在的准则 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 目录 上页 下页 返回 结束 解: 例. 求 解: