[理学]17 函数的连续性.ppt

* * If , then . So Example 9 Express as a piecewise-defined function and discuss the continuity of . Specify the type of the discontinuous point if it appears. Sol. If , then If , then and so, * * Combining the above results in one expression, we get It is obvious that are both discontinuous point of the first type. * 第七节 函数的连续性与连续函数的运算 * 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、连续函数的运算 本节要点 * 自然界中的很多现象都是连续变化的, 反映这种连续变化过程的就是所谓函数的连续性. 函数连续性的研究不仅具有普遍 的实际意义,对于了解函数的内在性质也有基本的重要性. 微积分的主要研究对象就是连续函数. 本节利用极限作为工具, 讨论连续函数的数学刻画. 引言 * 连续变化一例—人的相貌是随时间而连续变化的: 光阴荏苒，物换星移，老友故交相逢，往往慨叹物是人非。然而，熟人、邻居数日后再见，却不会发现彼此有什么变化，这就是连续变化现象。因为在较短的时间段内，人的相貌体形不会有太大的变化，因而不易观察出来，只有当时间跨度较大时，变化才比较明显。 * * 一条不断裂、不间断的曲线 * 自然界也存在变化不连续的现象. 如夜间虫鸣 的音量、脉冲波电压随时间的变化等。反映这种 不连续变化现象的函数图形是一条断裂的曲线。 脉冲电压随时间变化的图形 * 的图形在 处断裂 一、函数的连续性 从图形上分析函数在一点处连续和在一点处间断的 不同的数量特征: 的图形在 处连续 的数量特征: 的数量特征: 不存在 * Def 设函数 在点 的某一邻域内有定义， 若 存在，且等于 ，即 则称函数 在点 是连续的，此时又称点 是函 数 的连续点. 或 1. 函数在一点处连续的定义 * 函数 在点 连续的另一等价表述： x y o 记 称之为自变量的增量，则 记 称之为函数的增量。 由于 而 故连续性的定义可改写为: 若 则称函数 在点 处连续. * 复习本章第三节《函数极限的定义》中的一个重要结论: 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及 反三角函数等基本初等函数，在其定义域内 的每一点处的极限都存在, 并且等于函数在 该点处的值。 按照函数连续性的定义, 上述结论即为: 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及 反三角函数等基本初等函数，在其定义域内 的每一点处均连续. * * x y o 例1 设函数 则函数在 处 不连续. 的图形如图所示。 理由是: 而 不存在 故 在 处不连续. * * 2.区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函 数。有下面两种情况: 若 在开区间 内的每点处均连续, 则称 在开区间 内连续; 若 在开区间 内的每点处均连续且在点 则称 在闭区间 上连续. 在区间上连续的函数的图形是一条没有断裂的、 不间断的曲线. * * 前面已指出:幂函数，指数函数，对数函数，