[理学]18-导数在经济中的应用.ppt

* 一.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 极大 极小 二.渐近线 斜渐近线 作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , (3) 列表 , 确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点 . (4) 求曲线的渐近线 . (5) 作出函数的图形 . 三、函数图形的描绘 确定极值可疑点和拐点可疑点 . §4.8 导数在经济中的应用 一. 边际分析 二.函数最值在经济中的应用 §4.7 导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或 微分)在经济中的一些简单的应用. 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分析. 一. 边际分析 1.边际函数 定义1 经济学中, 把函数?(x)的导函数 称为?(x) 的边际函数. 在点x0的值 称为?(x)在 x0 处的边际值 (或变化率、变化速度等). 在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小. 故有 实际问题中, 略去“近似”二字, 就得?(x) 在 x0 处的 边际值 . 经济意义: 即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时, 函数 f(x) 的改变量. 例1 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x (件)的 函数为 2.成本C(Q)：是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入。包括（原材料、设备及劳动力等）的价格或费用总和。 平均成本 ：单位产品的成本 边际成本 ：在产量为Q时，再多生产一单位产 品所需的成本。 求: (1)日产量75件时的总成本和平均成本; 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本 (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量 C(75)/75 = 106.08 (元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本. C(75) = 7956.25(元) (3) 当日产量为75件时的边际成本 3收益（收入）：R(Q)：是指生产一定数量的产品所得到的全部 收入。 平均收益 ：单位产品的收入 边际收益 :在产量为Q时，再多生产一单位产 品的收入。 注 当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 为销售量为x时的边际利润, 它近似等于销售量为 x 时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润. 例2 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤, 250公斤 和300公斤时的边际利润. 并说明其经济意义. 解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) 边际利润函数为 (2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的 边际利润分别是 其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元. 当日产量为 250公斤时, 再增加1 公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时, 再增加 1公斤, 则反而亏损1元. 结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 ,反而使企业无利可图. 零点时 二.函数最值在经济中的应用 在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用. 1.平均成本最小 例6 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为 求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出其最小平均成本和相应的边际成本. 解 且驻点唯一. 唯一的极小值点. 平均成本达到最小，且最小平均成本为. 2.最大利润 设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中 x 为产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为 L(x) = R(x) – C(x) 而边际成本函数为 时, 相应的边际成本为 显然最