[理学]1数学模型建模引言.ppt

数学建模 Mathematical Modeling Tel：办公室) Email：sxfx@stdu.edu.cn 学时、对象和考核 计划学时：选修32，必修48 适应对象：大二下半年（最好大三） 考核方法：平时成绩和期末考试 预备知识 高等数学 线性代数 概率论与数理统计 运筹学 大学计算机基础 教材和参考资料 高等教育出版社《数学模型》姜启源 编 浙江大学出版社《数学模型》杨启帆 编 湖南教育出版社《大学生数学建模竞赛辅导教材》叶其孝 编 工科数学杂志社《数学建模教育与国际数学建模竞赛》叶其孝 编 江苏教育出版社《数学建模竞赛教程》李尚志主编 《运筹学》任何一本本科教材 计算机革命时代（Computer Revolution Era） or 信息时代（Information Times） 时代特点 ①计算机的迅速发展——高速、智能、小型、价廉； ②数学的应用向一切领域渗透——各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化； ③数学的日益重要性远远没有取得共识。甚至出现了“数学无用论”的观点 为什么会出现“数学无用论”？ ①数学的语言比较抽象，不容易掌握； ②数学教育上的不适当：形式化、抽象，只见定义、定理、推倒、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以致日常生活的密切联系。 数学建模的重要性 ①数学建模不是新东西（比如欧式几何、微积分都是很好的数学模型！） ②用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似刻划该实际问题。这种刻划的数学表述就是一个数学模型。其过程就是数学建模的过程。 数学建模的重要性 ③问题出在：当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（如推导、计算）求解该数学问题，并用实际情形来验证；若需要就要修改数学模型并重复上述过程，如果有一步完不成，意义就不大了。在以前，大量的计算令人生畏（在建模过程中往往遇到），现如今高性能的计算机的出现，使数学建模又掀起了一个高潮。 数学建模的重要性 ④从科学、工程、经济和管理等角度看：数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。 ⑤数学建模最重要的特点是接受实践的检验，多次修改模型，渐趋完善（的过程）。 数学建模步骤 了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料（建模准备）； 抓住主要矛盾，对问题作必要的 简化，提出几条恰当的假设（提出假设）； 利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（建立模型）; 数学建模步骤 模型的求解和检验。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然，因此建模本身不是最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等），将所得结果与实际情况作比较，以验证模型的正确性，如果检验结果与事实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复，即修改假设，重新建模。 数学建模步骤框图 例1：万有引力定律的发现 万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡献之一, 牛顿在研究力学的过程中发明了微积分, 又成功地在开普勒三定律的基础上运用微积分推出了万有引力定律．这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学建模案例之一． 万有引力定律的发现 背景：十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的日心说，这是科学上的一大革命。 当然由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也包含了一些缺陷（地球围绕太阳作圆周运动）。 此后，丹麦天文学家第谷·布拉赫进行了二十年的观测并记录下十分丰富而又准确的资料。 万有引力定律的发现 第谷·布拉赫的学生开普勒（Kepler）对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上有8度的误差，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设——Kepler三定律。 万有引力定律的发现 （1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上； （2）行星在单位时间内扫过的面积A不变； （3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变。 万有引力定律的发现 假设： （1）行星轨道方程：椭圆极坐标方程 其中a长半轴，b短半轴，e离心率； 万有引力定律的发现 （2） （3） k为比例系数，T为周期 （4）牛顿第二定律： 万有引力定律的发现 万有引力定律的发现 万有引力定律的发现 万有引力定律的发现 例2：传染病模型 背景：传染病是威胁人类健康和生命的一类疾病，如何有效地预防和控制传染病对人类的侵害，是一项相当重要的课题，其中有效预测某个时刻得病人数也是相当重要的指标。 传染病模型 符号假设：t 时刻病人数为i(t) 模型一：设单位时