[理学]1：初等模型 数学建模.ppt

初等模型 1 舰艇的会合 2 双层玻璃的功效 3 崖高的估算 4 经验模型 5 最短路径与最速方案问题 6 π的计算 考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段， 即初始时刻的加速阶 段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后两段而只考虑中间一段 ，为此，提出以下建模假设。 （1）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比 于Sv2,（见流体力学），空气阻力等其他因素不计。 （2）同一量级的选手有相同的体重W，选手的输出功 率P正比于W，且效率大体相同。 由假设1， ，故 竞赛成绩 记比例系数 为k，则有： 故 由假设2， 故 令WH=86,WL=73,则有 由于SL略小于SH，故轻量级所化时间比重量级所化时间约 多5%左右。 在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明，猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入的了解。 §2.9最短路径与最速方案问题 例5（最短路径问题） 设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。A、 B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。 A B O r 将湖想象成凸出地面的木桩， 在AB间拉一根软线，当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测 可以如下得到最短路径： 过A作圆的切线切圆于E，过B作圆的切线切圆 于F。最短路径为由线 段AE、弧EF和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，AE′，弧E′F′，F′B连接而成的连续曲线也是）。 E F E′ F′ 以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。 定义2.1（凸集）称集合 R为凸集，若x1、x2∈R及λ∈[0，1]，总有λx1+（1+λ）x2∈R。即若x1、x2∈R，则x1、x2的连线必整个地落 在R中。 定理2.2（分离定理）对平面中的凸 集R与R外的一点K，存在直线 l , l 分离R与K，即R与K分别位于 l 的两侧（注：对一般的凸 集R与R外的一点K，则存在超平面分 离R与K），见图。 k l R 下面证明猜想 猜测证明如下： （方法一）显然， 由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F′B围成的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设 Γ为最短路径，Γ过R外的一点M，则必存在直 线l分离M与R，由于路径Γ是连续曲线，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。这样，直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度，与Γ是A到B的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧EF必在路径F上，又直线段AE是由A至E的最短路径，直线FB是由F到B的最短路径，猜测得证。 A B O r E F E′ F′ M1 M2 M Γ l 还可用微积分方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用平面几何知识加以证明等。 根据猜测不难看出， 例5中的条件可以大大放松，可以不必 设AB过圆心，甚至可不必设湖是圆形的。例如对 下图，我们可断定由A至B的最短路径必 为l1与l2之一，其证明也不难类似给出。 A B l1 l2 D 到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。1973年，J.W.Craggs证明了以上结果： 若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定相切。 例6 一辆汽车停于 A处并垂直于AB方向，此 汽车可转的最小圆半径为 R，求不倒车而由 A到B的最短路径。 解（情况1）若|AB|2R，最短路径由 弧AC与切线BC组成（见图① ）。 （情况2）若|AB|2R，则最短路径必居 于图②（a）、（b）两曲线之中。可以证明， （b）中的曲 线ABC更短。 A R 2R B R C ① ② A B o C （a） C A B o1 o2 （b）