[理学]2-2 矩阵的运算.ppt

一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 对于矩阵的乘法需注意以下三点： 第一，只有矩阵A的列数等于B的行数 时，AB才有意义。 第二，乘积C=（cij）m?n的第i行第j列的 元素等于矩阵A的第i行的每一个元素与矩 阵B的第j列的对应元素的乘积之和。 第三，乘积C的行数等于矩阵A的行数， 列数等于矩阵B的列数。 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 作业 P54-P56 1 (1) , (2), (3), (4); 2 4 (1) , (2), (3); 6 10 (1) , (2), (3); 11 (1) , (3); 12 (1) ; 16 19 28 (1) * １、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） １、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 例１ 设 例2 故 解 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶方阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则 但也有例外，比如设 则有 在上述两个例子中都有AB?BA，即矩阵乘法不 满足乘法交换律，为此将AB称为用A左乘B，而 将BA称为A右乘以B。 还应注意到在上例中：A，B均为非零矩阵，但AB却为零矩阵。故一般的，若AB=0不能够推出A=0或B=0。 例3 计算下列乘积： 解 解 =( ） 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例4 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 例5 设列矩阵 满足 证明 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵 的伴随矩阵. 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 所以 同理, 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式 　　（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. 　　（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. 注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同. 成立的充要条件是什么? 答 故 成立的充要条件为