[理学]20+代数学基础4环和域.ppt

不可约多项式 定义:设F是一个域，f(x) ∈ F[x], f(x)的次数为正数，若f(x)=g(x)h(x)，其中f(x) ,h(x)∈ F[x], 则g(x)和h(x)中必有一个为常数多项式, 那么称f(x)是不可约的. 注意： 多项式的可约性依赖于该多项式定义在什么样的代数结构上. 一个多项式在一种代数结构上不可约，但可能在另一种代数结构上就是可约的. 例 对于二次多项式f(x)=x2 - 2x+2： . （1）在复数域上可约； （2）在实数域上不可约； （3）在F3上不可约. 利用不可约多项式构造域 定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x). 利用不可约多项式构造域 令F是一个域，f(x)是F[x]中的一个非零多项式，那么F[x]/f(x)是一个环，当且仅当 f(x)在F上不可约时， F[x]/f(x)是一个域. f(x)是F[x]中的一个不可约多项式， 当F是域时， F[x]/f(x)是一个域. 将f(x)称为域F[x]/f(x)的定义多项式. 定理 令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，那么域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式. 注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域. Pn 阶域的存在性 Zp是阶为p的域； 对任意的有限域F和任意的正整数n，F[x]中一定存在n次不可约多项式. 推论 对于每一个素数p和每一个正整数n，都存在一个阶为pn的有限域. 域Fp[x]/f(x)中结构是很清楚的，它仅是所有次数小于n、系数在Fp的所有多项式的集合； 在同构的意义下，这是唯一的阶为pn的有限域. 例子(1) 实数域: R 不可约多项式 f(x) = x2+1 R[x]/f(x) (ax+b)+(cx+d) = (a+c)x+(b+d) (ax+b)(cx+d) = acx2+(ad+bc)x+bd =(ad+bc)x+(bd-ac) (mod f(x)) R[x]/f(x) ≌ C ax+b ? ai+b 求逆 g(x)=ax+b (a≠0) 例子(2) 二元域F2 0+0=1 0+1=1 1+0=1 1+1=0 0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1 不可约多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1 加法 乘法 求逆 环和域 环的定义 环(Ring) : 一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘法“°”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环： (R, +)是一个交换群，加法单位元记为0（称为零元）； R关于乘法“°”满足结合律: (a°b) °c=a° (b°c), 并有单位元, 记为1； 分配律成立: (a+b) °c=a°c+b°c, c° (a+b)=c°a+c°b. 注： 0是抽象的写法，不同于整数中的0. “+”和“°”是抽象的运算 环的例子（1） 在通常的加法和乘法运算下，Z, Q, R 和 C都是环，加法单位元为0，乘法单位元为1。 环的例子（2） 对任意n0，在模n加法和模n乘法下，Zn是一个环。加法单位元为0，乘法单位元为1。 环的例子 (3) 多项式环 Z[x] 环中的零元 对于环中的任意元素a, 都有0a=a0=0 一般地，0与1不相等，否则1a=a, 而0a=0，这表明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑 所以0关于乘法没有可逆元 环的几个性质 设R是一个环, ?a,b ∈ R, 有: a(-b)=(-a)b=-(ab) (-a)(-b)=ab 交换环 类似于交换群的定义，如果一个环关于乘 法运算具有可交换性，就称它为交换环。 无零因子环 设R是一个环, 如果存在a,b∈R, a≠0, b≠0, 但ab=0, 那么称R是有零因子环, 否则称R是无零因子环. ab=0 ? a=0或b=0. 无零因子环的性质 性质1. 设R是无零因子环, 那么 若a≠0, ab=ac, 则b=c; 若a≠0, ba=ca, 则b=c. 性质2. 设R是无零因子环, 那么 R中非零元的加法阶相等, 或者为∞, 或者为素数.