[理学]20120304考研第六章定积分的应用下.ppt

* * 第 六 章 定 积 分 的 应 用（二） 第六章 定积分的应用 这个方法通常叫做元素法． 1.根据具体情况， 选取积分变量， 如： x. 确定x的变化 区间[a,b]. 2.把区间[a,b]分成n个小区间， 取一代表区间 求出该区间上所求量的部分量的近似表达式 量U的微分元素. 3.写出定积分的表达式： 先作图 用元素法求量U的一般步骤： y+dy y o y x d c o y x X型 Y型 解: 解: 解: 解: 证: 设正弦线的弧长等于 设椭圆的弧长等于 例9. 证明正弦线 的弧长等于 椭圆 的周长. 故原结论成立. 例10 试用定积分求圆 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 解 方法1 利用对称性 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 上 半圆为 下 方法2 用柱壳法 例10 试用定积分求圆 绕 x 轴 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 求侧面积 : 上 半圆为 下 解: 例10 试用定积分求圆 绕 x 轴 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中 如果物体在作直线运动的过程中所受的力是变化的， 就不能直接使用此公式， S时， 与物体的运动方向一致， 有一个不变的力F作用在这个物体上， 变力沿直线所作的功 且这个力的方向 那么，在物体移动了距离 力对物体所作的功为： W=FS. 而采用“微元法”的思想. 二、定积分在物理上的应用 1、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x ? a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 例1 将一个质量为m的物体从地面铅直送到高度为h 的高空处，问克服地球引力要作多少功？ 解 取r 轴铅直向上，地球中心为坐标原点. 当物体位于坐标为r的点处，所受的引力为 其中：f为万有引力系数,M为地球的质量. 设地球的半径为R，由于 则有 取r为积分变量, r o 则积分区间为 R 取r为积分变量,则积分区间为 在 上任意取一个小区间[r, r+dr], 则该区间 上物体克服地球引力需作的功近似于， 即为功元素. 于是所作的功为 r o R 例2 在底面积为s的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下,由于气体的膨胀， 把容器中一个面积 为s的活塞从点a处推到点b处， 计算在移动过程中， 气体压力所作的功. 解 o b x a s 取如图所示的坐标系 活塞的位置可以用 坐标x来表示. 或 则作用在活塞上的力为 x s 其中：p为压强,V为气体体积 则作用在活塞上的力为 在气体膨胀过程中， 则作用在活塞上的力也是变的. o b x a s 取x为积分变量， 则积分区间为[a,b], 在[a,b]上任取一 小区间 则该区间上变力作的功近似于 于是 所求的功为 体积V是变的,位置x也是变的， 例3 一圆柱形的贮水桶高为5m,底圆半径为3m， 桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需要作 多少功？ 5m 3m 解 取如图所示的坐标系 取深度x为积分变量， 它的变化区间为[0,5], 在[0,5]上任取一小区间 则该区间上对应的一薄层水的高度 为dx(m), 体积为 取水的密度 重力加速度 x 则该小区间上对应的薄层水的重量为 于是，把这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 即为功元素 于是所作的功为 5m 3m x 例4用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 二 次锤击时又将铁钉击入多少？ 0 1 x 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 h x x+dx 设二次击入的总深度为 厘米 二次锤击所作的总功为 功元素 依题意知,每次锤击所作的功相等． 第二次击入的深度为 二次锤击所作的总功为 功元素 2、水压力 有物理学知道,在水深h处的压强为 这里 如果有一面积 为A的平板， 水平地放置在水深为h处， 一侧所受的水压力为 是水的密度， 是水的重力加速度. 如果平板垂直放置在水中，那么，由于不同水深 处的压强p不相等， 用上述公式计算. 那么，平板 平板一侧所受的水压力不能直接 例5 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边 各长为10m和6m，高为20m,较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 10m 6m o y x A(0,5) B(20,3) 20m 建立如图所是的坐标系 则梯形一腰AB的方程为 取x为积分变量， 则积分区间为[0，20]， 解