[理学]21高斯消元法.ppt

* ? 用矩阵的初等变换求逆矩阵 ? 研究线性方程组的一般解法 ? 引入初等变换 第二章 线性方程组 与矩阵的初等变换 §2.1 线性方程组及高斯消元法 一、线性方程组及其解 二、高斯消元法与矩阵的初等变换 三、用矩阵的初等行变换解线性方程组 四、非齐次线性方程组解的判定 五、齐次线性方程组解的判定 一、线性方程组及其解 * 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 定义： 为方程组(*)的一组解. 称为方程组(*)的解向量. * 定义： 解集合(简称解集)——方程组(*)的全体解向量构成的集合. 定义： 如果两个方程组的解集相同，则称这两个方程组为同解方程组或这两个方程组同解. 定义： 如果方程组(*)有解，则称方程组(*)是相容的； 如果方程组(*)没有解，则称方程组(*)是不相容的. 令 根据矩阵乘法的定义，方程组（*）可写成矩阵形式 矩阵A ——方程组（*）的系数矩阵 ——方程组（*）的增广矩阵 矩阵 二、高斯消元法与矩阵的初等变换 例1. 解方程组 解： 阶梯形方程组 上例中消元法的过程,即反复对方程组施行下列三种变换: 注1: (1) 用一个非零的数乘某个方程； (2) 把某个方程的k倍加到另一个方程上； (3) 交换两个方程的位置. 以上三种变换称为线性方程组的初等变换. 上例求解的过程中，未知量并不真正参与运算，参与运算的只是系数和常数项，实际上，对方程组施行初等变换的过程，就是对方程组的增广矩阵施行变换。 注2: 与线性方程组的初等变换类似，可以定义矩阵的初等行变换. 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 行—row；列—column 再看刚才的方程组 三、用矩阵的初等行变换解线性方程组 再看刚才的矩阵 这种类型的矩阵称为阶梯形矩阵 特点： 　　 (2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元． (1)可从第一列至最后一列画出一条阶梯线，线的下方全为0． 例如：以下几个均为阶梯形矩阵 注意： 不是阶梯形矩阵! 1 1 0 0 4 0 1 0 2 ?2 0 2 0 ?2 3 0 0 0 0 4 A 中非零行的数目为A的阶梯数. 1 1 0 0 4 0 1 0 2 ?2 0 0 0 ?2 3 0 0 0 0 4 1 1 ?2 0 4 0 1 3 2 ?2 0 0 0 ?2 3 0 0 0 0 0 , ? 1 2 3 4 0 2 4 2 0 0 5 3 0 0 4 0 则称A为行最简形矩阵 如果阶梯阵A还满足如下条件 各非零首元全为1, 非零行首元所在列的其余元素全为0, 1 0 ?2 0 1 0 1 3 0 ?2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 注 可以用数学归纳法证明: 任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵. ? 例如， 通过矩阵的初等行变换化为行阶梯形矩阵，再通过初等行变换可化为行最简形矩阵。 方程组施行初等变换的过程，就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换使其化为行阶梯形矩阵直至行最简形矩阵的过程. 方程组AX=b与方程组CX=d同解. 因此，消元过程可用矩阵简单表示为： 四、非齐次线性方程组解的判定 重新排列未知量的次序，使 显见 (1) 出现矛盾方程，原方程组无解； (2) 则原方程组的同解方程组为 此时，原方程组有唯一解； 此时， (3) 则原方程组的同解方程组为 即 称为自由未知量 方程组的一般解为 此时， 注： 总结：解方程组时，先用初等行变换将方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵，判断方程组是否有解；在方程组有解时，继续将所得的行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵，然后可直接写出原方程组的解. 例2. 解方程组 解: 则原方程组的同解方程组为 则原方程组的解为 例3. 求解非齐次线性方程组 解： 对增广矩阵 进行初等变换， 显然方程组无解． 五、齐次线性方程组解的判定 ** 齐次线性方程组 很明显