[理学]2偏导数全微分.ppt

注意： 二、高阶偏导数 例5. 求函数 例如, 内容小结 第三节 全微分 由微分定义 : 三、小结 例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 设 分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 2. 误差估计 利用 令 z 的绝对误差界约为 z 的相对误差界约为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别注意 类似可以推广到三元及三元以上的情形. 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差. 解： 故绝对误差约为 又 所以 S 的相对误差约为 计算三角形面积.现测得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 , 解: 由欧姆定律可知 ( 欧) 所以 R 的相对误差约为 0.3 ? + 0.5 ? R 的绝对误差约为 0.8 ? 0.3?; 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 . 相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ? , = 0.032 ( 欧 ) = 0.8 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆 在点 (0,0) 可微 . 备用题 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数 所以 同理 极限不存在 , 在点(0,0)不连续 ; 同理 , 在点(0,0)也不连续. 2) 3) 题目 目录 上页 下页 返回 结束 * 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第八章 一、偏导数的定义及其计算法 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 证 原结论成立． 偏导数记号是一个 例3. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号, 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 P0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点P0 处的切线 斜率. 是曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的 例如, 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 偏导数存在 连续. 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义来求 ； ３、偏导数存在与连续的关系 一元函数在某点可导 连续 ， 多元函数在某点偏导数存在 连续 . 纯偏导 混合偏导 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 . 解 : 注意:此处混合偏导 但这一结论并不总成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 二者不等 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练 习 题 练习题答案 一、全微分的定义 二元函数 z = f ( x, y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x,