[理学]3-1 容斥原理.ppt

同样的方法还可以得到： 设与性质1,2,…,n相关的元素有N个，设Ai表示具有性质i的元素的集合。引进记号： b(m)表示刚好具有m个性质的元素的个数。 利用这些记号，上面的两个公式可以写成： b(1)=a(1)-2a(2)+3a(3)； b(2)=a(2)-3a(3)。 * * 第三章 容斥原理与鸽巢原理 3.1 容斥原理 3.2 鸽巢原理 3.1 容斥原理 容斥原理 有禁区的排列 广义容斥原理 1. 容斥原理 已学过的：如加法法则，母函数方法等； 两个计数原理：容斥原理和Polya计数定理。 例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。共10个； 3的倍数是：3，6，9，12，15，18。共6个； 答案是10+6=16个吗？ 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去， 故答案是：16-3=13。 对于求两个有限集合A和B的并集的元素数目： 定理1 即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的元素个数和具有性质B的元素个数的和，减去同时具有性质A和B的元素个数。 A B A∩B U 定理2 A B C A∩B A∩B ∩C B∩C A∩C U 例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课，问这学校共有多少学生？ 令A、B、C分别为修数学、物理、化学的学生集合。 即学校共有336名学生。 类似的，对于四个集合有： 规律1：n个集合取1,2,…n个做交集(所有可能)； 规律2：正负号交叉出现。 对于一般的n个有限集合： 定理3 又因为 所以有： 这两个公式就是容斥原理，分别针对并集和交集。 例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。 令A、B分别表示1到500的整数中能被3、5除尽的数的集合，则 因此能被3或5除尽的数的个数为： 例4 求由abcdef这六个字符组成的全排列中不允许出现ace和df图象的排列数。 令A、B分别表示出现ace、df图象的排列的集合。 而全集的元素个数为|U|=6!， A中是出现ace图象的排列，即ace作为一个元素参加排列，因此有|A|=4!。 类似有|B|=5!，|A∩B|=3！。 因此满足条件的排列数为： 例5 求4个x，3个y，2个z组成的全排列中不允许出现xxxx，yyy和zz图象的排列数。 令ABC表示出现xxxx、yyy、zz图象的排列的集合。 A中的排列是把xxxx作为一个元素参加排列，注意有3个y和2个z，因此|A|=6!/(3!2!)=60。 类似有|B|=7!/(4!2!)=105， |C|=8!/(4!3!)=280， |A∩B|=4!/2!=12，|B∩C|=6!/4!=30，|A∩C|=5!/3!=20, |A∩B ∩C |=3!=6，|U|=9!/(4!3!2!)=1260。 因此满足条件的排列数为： 例6 求由abcd这4个字符构成的n位符号串中，a、b、c都至少出现一次的数目。 令A、B、C分别表示不出现a、b、c的符号串的集合。 A中不出现a，即符号串的每一位只能取bcd之一，有三种选择，因此|A|=3n。 类似有|B|=|C|= 3n ， |A∩B|=|B∩C|=|A∩C|= 2n，|A∩B ∩C |= 1n=1，|U|= 4n。 因此满足条件的符号串的数目为： 例7 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求满足这些条件的排列数。 令Ai (i=1,2,3,4,5)分别表示出现以上五个单词之一的排列的集合。 A1中的集合是把dog作为一个元素参加排列，因此有|A1|=24!。 类似有：|A2|=|A3|=24!， |A4|=|A5|=22! 。 由于dog和god不能同时出现，所以|A1∩A2|=0。 由于dog和gum可以以dogum的方式出现，所以有|A1∩A3|=22!。 类似有：|A1∩A4|=0， |A1∩A5|=0。 类似有：|A2∩A3|=0，|A2∩A4|=20!， |A2∩A5|=20!， |A3∩A4|=20!， |A3∩A5|=20!， |A4∩A5|=19!。 因此满足条件的排列数为： 例8 欧拉函数y(n)，是指小于n且与n互素的正整数的个数。 令Ai (i=1,2,…,k)分别表示1到n这n个整数中pi的倍数组成的集合。 则显然有|U|=n，|Ai|=n/pi。 注意到所有的