[理学]3-1向量及其线性运算.ppt

第三章 第一节 例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解. 例1 解 对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再进行判断和求解. 例2 讨论 k 何值时，线性方程组 与相对应的同解方程组为 例4 本节主要介绍n维向量空间， 三维基本单位向量 例1 作业 通解: Ⅱ.齐次线性方程组 Ax=0 解存在性判别方法 定理2 n元齐次线性方程组Ax=0恒有解； 且当R(A)=n时有惟一零解；当R(A)n时有非零解. 推论1 m×n齐次线性方程组Ax=o，当mn时有非零解. 推论2 n×n齐次线性方程组Ax=o有非零解的充分必要条件 是其系数阵A的行列式|A|=0； 有惟一零解的充分必要条件是其系数阵A的行列式|A|?0. 有非零解，并求出它的非零解． 解 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 即 试问当λ为何值时，齐次线性方程组 从而当 λ=-2 或 λ=1 时方程组有非零解. （Ⅰ）当λ＝－２时，方程组成为： 系数矩阵为 R（A）=2，线性方程组的解为： 其中k为任意常数． （2）当λ＝1时，方程组为： 系数矩阵为 方程组的解为： 令 方程组的一般解为： 其中k为任意常数． 研究向量组的线性 相关性， 给出向量空间的基底、维数、坐标的概念。 进一步给出欧氏空间Rn 的意义, 以向量为工具讨论 直线、平面问题以及线性方程组解的理论。 一、n 维向量定义 n 个有次序的数 a1，a2，…，an 所组成的 有序数组称为一个 n 维向量 . 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为 定义 4.1 第 i 个分量 . 称 为列向量(实际上是列矩阵)， * * 一、向量及其线性运算 四、齐次线性方程组解的结构 五、非齐次线性方程组解的结构 线性方程组 三、线性方程组的相容性 六、向量空间 二、向量及其相关性 一、线性方程组的解法(熟练掌握） 二、 n维向量 三、向量的线性运算 向量及其线性运算 第三章 的线性方程组 (1) 当 不全为零时， 称（1）为非齐次线性方程组。 设有n个未知量 定义1： 当 全为零时， 称（1）为齐次线性方程组。 一、线性方程组解的存在性定理 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 如果给定的方程组（1）为非齐次线性方程组， 把右端常数全换为0得到的齐次线性方程组： （2） 称之为（1）的导出齐次线性方程组。 对应导出齐次方程组为： 定义2： 矩阵运算与解线性方程组 例： 写出增广矩阵 观察知:线性方程组和矩阵的初等变换一一对应 .故解线性方程组可以利用其增广矩阵进行. 说明： 如果线性方程组（1）经过初等变换化为线性方程组（2），则称方程组（1）（2）是 同解方程组。 解线性方程组实例 例２ 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等行变换， 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性 Ⅰ.非齐次线性方程组Ax=b解存在性判别方法 解 无解？有解？有解时，求出其所有解。 解 对增广矩阵A进行初等行变换 原方程无解。 原方程有无穷多解。 令 原方程组的解为 例3 解