[理学]4-2 方差相关系数和矩---final.ppt

§4.2 方 差 常见分布的方差: 1.两点分布X～B(1, p) : 2. 二项分布X～B(n, p) : 3. 泊松分布: 4. 均匀分布 X～U[a,b]: 5. 指数分布 6. 正态分布 X～N(? ,?2) : （5）若 随机变量的标准化 对于随机变量x ，若数学期望和方差都存在，且D(x )0，有时要考虑标准化了的随机变量 n维情形 定义：设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，称n阶方阵B={cov(Xi,Xj)}为X的协方差矩阵，简记做DX B为n阶非负定矩阵，且detB≥0。 二、相关系数 下面讨论相关系数的性质 随机变量X与Y，它们的相关系数为r 首先给出柯西--施瓦兹不等式 定理4.2.1 对任意随机变量X与Y有 等式成立当且仅当 P{Y=t0X}=1 这里t0是某一常数 证明：要证 把定理应用到 定义4.2.4 若随机变量X与Y的相关系数 r = 0，则称X与Y不相关。 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y) 注意到:在例题中X与Y是不独立的,容易验证 性质4. 对于二元正态分布，不相关和独立是等价的。 二元正态分布的协方差矩阵是 四 矩 定义4.2.5 对正整数k，称 为k阶原点矩。 数学期望为一阶原点矩。 定义4.2.6 对正整数k，称 为k阶中心矩。 方差为二阶中心矩。 条件数学期望 注 意 点 E(X| Y=y) 是 y 的函数. 重期望公式 定义: 设Cov(X,Y)存在，且D(X),D(Y)不为零，则称 为X,Y的相关系数或标准协方差,记为?XY (或? ) 即 以后定义常数与任何随机变量的相关系数为0。 对任意实数t，考察 回顾下面两个公式 性质2. 对随机变量X与Y,下列事实是等价的 性质3. 若X与Y独立，则X与Y不相关。 (2)若X1,X2, …,Xn两两独立,，则 结论:(1)若X与Y独立，则D(X+Y)=DX+DY D(X+Y )= D(X ) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ) 回顾随机变量和的方差与协方差的关系 证明: 例 设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1上的均匀分布,证明: ?XY =0。 ∴ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 同样得E(Y )=0 可易得 DX0,DY0. ∴?XY = 0, 故 X与Y不相关. 定义 所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y). * 引例: 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出: ：甲击中的环数； X ：乙击中的环数； Y 试问哪一个人的射击水平更高呢？ 一 方差 定义: 设X是一个随机变量,若E{[X?E(X)]2} 存在,则称E{[X?E(X)]2}为X的方差,记为D(X)或Var(X),称 为随机变量X的标准差或根方差,记为?(X) 即 D(X)= E{[X?E(X)]2} 方差的定义 a. 离散型： b. 连续型： 数学期望反映了随机变量的平均值,方差衡量随机变量的平均偏离程度 利用数学期望的性质： D(X)= E{[X?E(X)]2} 公式： D(X)= E(X2)?E2(X) E(X)=p E(X2)=02?(1?p)+12?p =p 则由D(X)=E(X2)?E2(X)得: D(X)=p?p2 =p(1?p) 1?p p P 0 1 X 令X=X1+X2+…+Xn 其中Xi (i=1,2,…,n)相互独立,均服 从参数为p的两点分布 则有: D(Xi)=p(1?p) 故, =np(1?p) E(X)=np 令i=k?1,得: =?(?+1) 则有: D(X)=E(X2)?E2(X)=? 则有: D(X)=E(X2)?E2(X) = 则有: D(X)=E(X2)?E2(X) = E(X)=? 令 ,得: E(X2)=?2+?2 则有: D(X)=E(X2)?E2(X) =?2 方差的性质 (1)D(c)=0 D(c)=E(c-Ec)2 =E(c-c)2 =0 (1) 方差越小，事件{|X-EX|≥e}的概率越小 (2) 可得不等式 表示x落在(EX-dDX,EX+dDX)内的概率不小于 1－1/d2 二 Chebyshev不等式 DX D(X)=E(X2)?