[理学]4-1 随机变量的数学期望.ppt

第一节 数学期望  四、小结 备份题 3. 常见离散型随机变量的数学期望 4.常见连续型随机变量的数学期望 　　根据生命表知 , 某年龄段保险者里 , 一 年中每个人死亡的概率为0.002, 现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少元? 例1 该交多少保险费? 解 设1年中死亡人数为X , 被保险人所得赔偿金的期望值应为 若设每人一年须交保险费为a 元, 由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知 故每人1年应向保险公司交保险费4元. 解 例2 某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其成绩 X 服从 N(75, 9) 的正态分布,试求学生成绩的期望值. 解 例4 例5　商店的销售策略 解 到站时刻 概率 例5 解 解 例 9 设 (X ,Y) 的分布律为 由于 例2 如何确定投资方向? 某人有10万元现金, 想投资于某项目, 欲估成功的机会为 30%, 可得利润8万元 , 失败的机会为70%, 将损失 2 万元.若存入银行, 同期间的利率为5% , 问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润,则 存入银行的利息: 故应选择投资. 第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 一、随机变量的数学期望 三、数学期望的性质 二、随机变量函数的数学期望 四、小结 1. 离散型随机变量的数学期望 一、随机变量的数学期望 关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正平均值，也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变，之所以这样要 求，是因为数学期望是反映随机变量X 取可能 值的平均值，它不应随可能值的排列次序而改 变. 试问哪个射手技术较好? 例1 谁的成绩比较好? 乙射手 甲射手 解 平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中 9.1环.因此甲射手的本领要高一些. 例2 二项分布 则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 则两点分布b(1,p)的数学期望为 p. =np 例3 泊松分布 则有 例4 几何分布 则有 2.连续型随机变量数学期望的定义 定义3.2 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布, 其概率密度为 试求顾客等待服务的平均时间? 解 因此，顾客平均等待5分钟就可望得到服务. 例5 顾客平均等待多长时间? 例6 均匀分布 则有 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 例7 指数分布 则有 例8 正态分布 则有 求E(X) 例9 设随机变量X服从 例10 设随机变量 X服从柯西分布, 其密度函数为 求E(X). 解: 由于此积分不存在 因此柯西分布的数学期望不存在. 若X为离散型随机变量，分布律为 Y=f(X)为X的函数 则Y的期望为 1. 离散型随机变量函数的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 p(x) 则 3. 二维随机变量函数的数学期望 解 例1 求: 例2 设X ～ N(0,1),Y ～ N(0,1), X 与Y相互 独立, 求 解: 三、数学期望的性质 (1) 设 C 为常数，则有 (2) 设 X 是一个随机变量，C 为常数，则有 （4） 设 X，Y 是相互独立的随机变量，则有 （3）设 X1，X2, …,Xn 是 n个随机变量， 为实数，则有 解 例11* 第四章 随机变量的数字特征 例 12 用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器 所用次数的增加而呈指数下降，即 P{第k次生产出的产品是正品}= 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。 解： 设X是前10次生产的产品中的正品数，并设 第四章 随机变量的数字特征 第四章 随机变量的数字特征 例 13 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。 假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。 解： 设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同