[理学]4-4线性代数.ppt

回顾第三章 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 * * 定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ． 定理：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件 是 R(A) n ． １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） 则上述方程组（1）可写成向量方程 若 为方程 的解 则 称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 的解． ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． １．基础解系的定义 ２．线性方程组基础解系的求法 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 基础解系不是唯一的！ 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 定理7 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 证明 １．非齐次线性方程组解的性质 证明 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 例4 求解方程组 解 第一步：求线性方程组的一个特解 第二步：将线性方程组看作是齐次线性 　　　　方程组，求基础解系 第三步：结合第一步与第二步的结果 第一步与第二步可调换执行顺序 例4 求解方程组 解