[理学]5-01 导数概念.ppt

导数与微分 导数的概念 二、导数的定义 三、导数的几何意义与物理意义 四、可导与连续的关系 五、函数的极值与Fermat引理 * 一、问题的提出 二、导数的定义 三、导数的几何意义与物理意义 四、可导与连续的关系 五、函数的极值与Fermat引理 小结 如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 一、问题的提出 变速直线运动物体的瞬时速度问题 2.切线问题 割线的极 限位置——切线位置 定义 2.右导数: ★单侧导数 1.左导数: ★ ★ ★ 关于导数的说明： ★ 关于导数的说明： ★ 例1 解 例2 解 例2 例3 解 1.几何意义 切线方程为 法线方程为 ★ 如果函数 y= f(x)是单调增加的，那么函数的图象—曲线 y= f(x)就是单调上升的，那么曲线 y= f(x)每点的切线(若存在)都是上倾的，斜率都是大于等于零的。由导数的几何意义及函数极限的保号性,如果函数 y=f(x) 是可导的，那么函数 y=f(x) 的导函数 f (x)?0 . 当然，如果已知曲线 y=f(x)每点的切线斜率都是大于零的，试问：可导函数 y=f(x) 一定是严格单调增加的吗？…！这一猜想将在后面予以证实。 2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度： 交流电路:电量对时间的导数为电流强度： 质地非均匀的线物体:线物体从a到x那一段的质量为m(x), 那么质量m(x)对 x 的导数为线物体的线密度： … … … … O a b x x+Δx 命题 凡可导函数都是连续函数. 证 连续函数不存在导数举例 0 例如, 注意: 该命题的逆命题不成立. ★ 0 1 例如, 例如, 0 1 1/π －1/π 函数的极值是一个局部性的概念,它只是在自变量的某一个邻域内函数可能取得的最大值或最小值。具体而言,那就是 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点 。 定义 注意: 例如, 证明 练习题 * *