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[理学]56 Gauss公式与Stokes公式
* Chapter 5(6) Gauss公式与Stokes公式 教学要求: 1. 了解Gauss公式; 2. 会用Gauss公式计算曲面积分; 3. 了解Stokes公式; 4. 了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系. ——高斯公式或奥氏公式或奥高公式 定理1. Proof. (1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两 个,如图 根据三重积分的计算法 根据曲面积分的计算法 同理, 三式相加得, (2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域,可得结论. 注意: (1) Gauss公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. (2) Gauss公式可用来简化某些曲面积分的计算. (3) 不是封闭曲面时, 添加辅助面后可用Gauss公式. (4) 使用Gauss公式时应考虑: P,Q,R是对什么变量求偏 导, 是否有连续偏导, 是否是闭曲面的外侧. 如果是闭曲面的内侧, 则在三重积分号前添“?”号! (5) 可用曲面积分计算空间区域的体积: Solution. 利用Gauss公式,有 其中?是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧. Solution. 利用Gauss公式, 得 Solution. 由Gauss公式, 有 定理2. 则有结论: Proof. 由Gauss公式,有 反证法 与已知矛盾,故结论成立. Solution. 所给曲面如图, 取上侧 由Gauss公式有 Solution. 如图所示, 取前侧, Solution. 如图所示, 取后侧 取左侧 取上侧 由Gauss公式有 Solution. 如图所示, 取下侧 其中a为正常数, 记Ω表面的外侧为∑, Ω的体积为V, Proof. x y z Solution. 曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定(右手法则): 当右手四指依?的绕行方向时,大拇指所指的方向与 ?上法向量的指向相同,这时称?是有向曲面?的正向 边界曲线. 定理1. 其中?的侧与?的方向按右手法则确定. Proof. 思路: 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 (1)设平行于坐标轴的直线与∑的交点不多于一个,则 设当∑为z=z(x,y)上侧,在 xoy面上投影区域为Dxy, Г在xoy面上的投影曲线 为C时, 如图所示. o x y z 三式相加 即得结论. (2)若平行于坐标轴的直线与∑的交点 多于一个时,作辅助线可得结论成立. 注意: (1) 便于记忆, Stokes公式可用行列式表示为 (2) 利用两类曲面积分的关系, 得Stokes公式的另一形式 *
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