[理学]63 曲面与空间曲线.ppt

* 6.3 曲面与空间曲线 6.3.1. 曲面 6.3.2. 空间曲线 6.3.1 曲 面 空间解析几何中，空间曲面可以看成是空间动点按某种规律变动的几何轨迹. 例 求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹. 解：设M(x,y,z)为动点的坐标， ||AM|| = ||BM|| 整理得 研究曲面有两个基本问题： (1) 已知曲面 S 建立它的方程； (2) 已知曲面方程，研究曲面形状. 定义： 空间点集 S = {(x, y, z)| F(x, y, z) = 0} 称为由方程 F(x, y, z) = 0 所确定的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 (1) 已知曲面 S 建立它的方程 球面的标准方程 (2) 已知曲面方程，研究曲面形状. 例 讨论方程 所代表的几何图形. 解： 将方程配方得 （1）当 方程表示一个球面， （2）当 方程表示一个点， （3）当 方程不表示任何曲面. 球面的一般方程 例 方程 的图形是怎样的？ 根据题意有 图形上不封顶，下封底． 解 定义 若一动直线沿已知曲线C 移动，且始终与某一定直线L平行，这样形成的曲面称为柱面. 曲线C 称为准线， L 称为母线. 6.3.1.1 柱 面 几种常见的柱面 1 平面 O X Y Z 准线 : x – y = 0 母线 : 与 z 轴平行 准线 : xOy 平面上的椭圆. 母线 : 与 z 轴平行. 例 2 椭圆柱面 X Y Z O 例 母线: 与z 轴平行. 准线: xOy 平面上的双曲线 O y x z 3 双曲柱面 X O Y Z 例 y 2 = 2px 准线: xOy 平面上的抛物线. 母线: 与z 轴平行. 4 抛物柱面 X O Y Z 柱面方程的特征： (1) F(x, y) = 0： (2) G(x, z) = 0：准线: xOz 平面上的曲线G(x, z) = 0, 母线: y 轴平行； (3) H(y, z) = 0：准线: yOz 平面上的曲线H(y, z) = 0, 母线: x 轴平行； 准线: xOy 平面上的曲线F(x, y) = 0, 母线: z 轴平行； 总之，若曲面方程中缺少一个变量，则该曲面是一个柱面， 且这个柱面的母线与缺少的这个变量对应的坐标轴平行. 1. 定义 一条空间曲线C 绕一条定直线旋转一周所产成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线称为该曲面的旋转轴． 6.3.1.2 旋转曲面 问题： 求 yO z 平面上的曲线 f (y, z) = 0 绕 z 轴旋转一周所得空间曲面的方程. 解 设 M1(0, y1, z1) 是曲线 f (y, z) = 0 上的一个点， (1) z = z1 (2) 点M 到 z 轴的距离 2. 旋转曲面的方程 M (x, y, z) 是M1在旋转过程中产生的任一点，则有 将 代入 得方程 一般地，坐标面上的曲线，绕此坐标面上的一个坐标轴旋转，其旋转曲面的方程可按下列方式写出： 对于曲线在坐标面上的方程 （1）保留与旋转轴同名的坐标； （2）以其他两个坐标平方和的平方根 代替方程中的另一坐标. 绕x轴旋转一周 zOx 面上的已知曲线 例 所以，旋转曲面方程为 几种常见的旋转曲面 1 旋转椭球面 2 旋转双曲面 例 方程 z = x2 + y2 表示什么曲面？ 解 曲面 z = x2 + y2 可以看作是： yOz 平面上的抛物线 z = y2 绕 z 轴旋转一周所得到的. 这个曲面也可看作是： xOz 平面上的抛物线 z = x2 绕 z 轴旋转一周所产生的. 3 旋转抛物面 解 注意区别： 4 圆锥面 1. 一般式方程 空间曲线C 可看作空间两曲面的交线. 上式称为空间曲线的一般方程. 6.3.2 空间曲线 例 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆.