[理学]7 常系数二阶非齐次微分方程的求解.ppt

§8 常系数二阶非齐次 微分方程的求解 型 型 两个常用定理 例 三. 两个常用定理 定理1 定理2 * * 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 二阶常系数非齐次线性方程为： 代入原方程 设非齐方程特解为 综上讨论 注意 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程（k 是重根次数）. 特殊情形 特例 1. 二阶常系数线性齐次微分方程的求解 Dec. 25 Mon. Review 特征方程 ① 特征方程有两个不相等的实根 方程有通解 ② 特征方程有两个相等的实根 方程有通解 ③ 特征方程有一对共轭复根 方程有通解 2. n 阶常系数线性齐次微分方程的求解 特征方程为 ① 特征方程有单的实根，则原方程有特解 ② 特征方程有 k 重实根，则原方程有解： ③ 特征方程有单复根，则 ④ 特征方程有m重复根，则 3. 常系数非齐次线性微分方程特解 二阶常系数非齐次线性方程为： 特殊情形 特例 1. 2. 例1. 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 解: 特征方程： 特解具有形式： 代入方程得： 例3. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 解: 特征方程： 特解具有形式： 代入方程比较系数得： hw：p317 1(1,4,5,6,7,9,10),2(1,5),6. 的解。 解: 可先求解复方程： 代入方程得： *