[理学]73 二重积分的应用.ppt

7.3 二重积分的应用 Applications of Double Integrals 7.2.1 二重积分的元素法 7.3.2 曲面的面积 The Area of a Surface 7.3.3 平面薄片的重心 The Center of Mass of a Lamina 7.3.4 平面薄片的转动惯量 The Moment of Inertia of a Lamina 形心： 例3.3 自学 由对称性，重心在 x 轴上： * College of Mathematics 2005 上一页 | 首页 | 下一页 College of mathematics * 上一页 | 首页 | 下一页 * College of mathematics * 将定积分的元素法推广到二重积分 可得二重积分的元素法 若要计算的某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内． 则所求量的积分表达式为 称为所求量U的元素，记为 ， 二重积分的元素法 (即当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量 U相应地分成许多部分量，且U 等于部分量之和)， 平面的面积 求平面在有界闭区域 D上的那一块的面积 A 已知 求 则 设平面与 z=0 的夹角 为 平面 与 z = 0 的夹角余弦为 与 k 夹角余弦 所以 曲面方程： 有界闭区域 求曲面的面积 A 切平面的法矢： 切平面与 z = 0 的夹角余弦： （ n与 k 的夹角余弦 ） 面积元素 曲面面积 其中 D 是曲面在坐标面 z = 0上的投影区域 求曲面面积的步骤： (1)求曲面在坐标面 z = 0上的投 影区域 D (2) 在区域 D 上计算二重积分： 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 Example with(plots): zuimian:=implicitplot3d(x^2+y^2=z^2,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1,color=yellow,grid=[20,20,20]): zhumian:=implicitplot3d(x^2+y^2=x,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1,color=green,grid=[20,20,20]): x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2): y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2): z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..1.2,v=0..0.01,thickness=2): display(zuimian,zhumian,x_axis,y_axis, z_axis,orientation=[23,66],scaling=constrained); 投影区域Projection Example 球冠在 xOy 面上的投影区域： 半球面面积： 球面面积： 质点 : P(x, y) 质量 : m 质点 P 对 x 轴的静力矩： 质点 P 对 y 轴的静力矩： 平面薄片占据区域 D 面密度： 取一小块薄片： 位于(x, y) 近似地看成质点 小薄片质量： 质量元素 薄片质量： 小薄片对 x 轴的静力矩： 对 y 轴的静力矩元素 小薄片对 y 轴的静力矩： 对 x 轴的静力矩元素 薄片对 x 轴的静力矩： 薄片对 y 轴的静力矩： The moment about the x-axis The moment about the y-axis 薄板的重心坐标： The center of the mass 若薄片有均匀密度： （常数） 薄板的重心坐标： 此时的中心成为形心 例3.4 是常数 求形心 作图 implicitplot(y^2=4*x,x=-0.2..1.2,y=-0.5..2.2,thickness=3,scaling=constrained); 交点：