[理学]9-04-定积分的性质.ppt

§4 定积分的性质 一、定积分的基本性质 小 结 卜算子·咏梅 驿外断桥边, 寂寞开无主. 已是黄昏独自愁, 更著风和雨. 无意苦争春, 一任群芳妒. 零落成泥碾作尘, 只有香如故. 宋?陆游 ???????????????????????????????? ?????  卜算子·咏梅 宋?陆游 驿外断桥边，寂寞开无主。 已是黄昏独自愁，更著风和雨。??????????????????????? 无意苦争春，一任群芳妒。 零落成泥碾作尘，只有香如故。 * 一、定积分的基本性质- 二、积分中值定理- 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。 前面已经对定积分作了补充规定: 说明 另外，显然 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 证 性质2 性质1、2常被称为定积分的 线性性质。 性质3 利用定积分的定义，性质3的证明不难得到，在此从略。 注意，一般地 下面提醒大家注意，两个可积函数的复合函数不一定可积。例如， 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例如，若 定积分对于积分区间具有可加性. 则 性质4 根据定积分的几何意义与物理意义：面积、路程、变力作功——来理解性质4 —关于积分区间的可加性 ，可以看到结论是十分显然的。 例1 求 解 由图形可知 例2 设 , 求 . 解 根据定理9.5可知，该函数的定积分存在。并且可以利用积分的区间可加性得到： 证 性质5 (保号不等式) 由极限的保号性 性质5的推论：(1)保向不等式 (保序性) 证 解 令 于是 证 性质5的推论:（2）绝对不等式 又 说明：这个性质的逆命题不成立. 证 性质6（估值不等式） 以上性质 4、5、6均可用定 积分的几何意义来理解。 解 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 定理 9.7 （定积分第一中值定理） 积分中值公式 二、积分中值定理 使 即 积分中值公式的几何解释： 积分中值公式也完全可以借助于定积分的物理意义来解释：从时刻a到时刻b物体以变化的速率f(x)沿直线运动所走过的路程为 其数值等于在时间段 [a, b]内，物体以某个时刻 ? 的速率f(?) 作匀速直线运动所走过的路程。 解 由积分中值定理知有 使 积 分 中 值 定 理 微 分 中 值 定 理 定积分中值定理 与 微分中值定理 合二为一！ 有了 牛顿—莱布尼茨公式后， 则 解释： 定理 9.8 （推广的定积分第一中值定理） 证 由定积分的基本性质5的推论1保向不等式知 由闭区间上连续函数的介值定理知， 结论成立！ １.定积分的性质——线性性质与区间可加性 用于定积分的计算； ２.定积分的性质——保号性、估值性质、绝对不等式与积分中值定理等着重于理论上的应用。 （１）不计算定积分比较积分大小； （２）估计积分值。 3.典型问题：