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典　型　例　题 一、计算排列的逆序数 （例１） 二、计算（证明）行列式 １　用定义计算（证明） 三、克拉默法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 把第 1 列的 -1 倍加到其余各列 把第 i 行的 倍加到第一行 机动 目录 上页 下页 返回 结束 评注 评注：本题通过添加上一行、一列而使得行列式化简。 本题也可以把第一列全添加为1。 根据具体题目，所添加的行、列要具体分析。有时，所添加的行列不一定是第一行、第一列。 ７　用数学归纳法（例９） ７　用数学归纳法 例９　证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例９证明 证 对阶数n用数学归纳法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例９评注 评注 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结 　　计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法． 小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 计算排列的逆序数 计算（证明）行列式 克拉默法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 典　型　例　题 　　分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数． 解 例１ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、计算排列的逆序数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列． 于是排列的逆序数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 １　用定义计算（证明） 例２　用行列式定义计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、计算（证明）行列式 例２解 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 　　评注　本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法． 注意 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例２评注及注意 例３　设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例３ 例３证明 证明 由行列式的定义有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例３评注 　　评注　本题证明两个行列式相等，即证明两 点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一 项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法． 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ２　利用范德蒙行列式计算 ２　利用范德蒙行列式计算 例４　计算 　　利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例４解 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 　　上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例４评注 　　评注　本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式． 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ３　用化三角形行列式计算 ３　用化三角形行列式计算 例５　计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例５解 提取第一列的公因子，得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例５评注 　　评注　本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的． 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ４　用降阶法计算 ４　用降阶法计算 例６　计算 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录