[理学]Chap2 随机变量的分布与数字特征.ppt

Remark：引入随机变量的意义 随机事件的数量表示 随机变量与一般函数的差别 概率分布的缺陷 Remark：(1) 分布函数适合描述任意随机变量;(2) 分布函数完全地刻画随机变量的统计规律性. 分布函数性质 性质的推广 §2.3 常用的离散型分布 Figure Poisson 分布的应用 在一定时间段内: 银行收到的存款次数; 保险公司收到的索赔单数; 来到某公共设施的顾客数; 发生的事故、错误、故障及灾害性事件数目; 放射物质放射出粒子的数目(著名的Rutherford等人利用云雾实验室观察镭所发射出的 粒子数目试验);…… 二.指数分布(exponential distribution) Remark：指数分布的现实意义 三.正态分布（Normal Distribution） 第二章作业 练习2-1： 第 5, 6, 11, 12 题; 练习2-2： 第 2, 3 题; 练习2-3： 第 4, 5, 6, 8 题; 练习2-4： 第 1, 7, 8, 9 题; 练习2-5： 第 3, 6, 7, 9 题; 习题二： 第 1, 8 题; 这题不讲，学生自己看 标准正态分布 正态分布的应用 正态分布是最重要的概率分布，有着非常广泛的实际应用. 人的身高体重，智商能力，测量误差(Gaussian Distribution),降雨量等等. 由中心极限定理，若某随机变量，可以视为许多微小随机因素的总后果，而且每一个因素的影响都很小，则都可以近似地服从正态分布. 1.正态分布的分布函数 Remark: 不能表示为显式解析式. Excel函数： NORMSDIST( x ), 反函数： NORMSINV( y ). 2.标准正态分布表 1.若 则 2.记 称为 的标准化，有 3.设 其分布函数记为 则 3.一般正态分布与标准正态分布的关系： 4.一般正态分布的概率计算 Excel函数： NORMDIST( ), 反函数： NORMINV( ). Example in Practice （US Airways Attache, 2000.9）Mensa是国际高IQ成员组织，要想成为Mensa会员，在IQ测验中必须排名在整个人口的前2％. 如果人的IQ值服从正态分布，均值为100，标准差为15. 若某人想取得成为Mensa会员的资格，那么他的IQ值至少应达到多少？ §2.5 随机变量函数的分布 若 为随机变量 的函数，则 X B Y=g(X) 一.随机变量的函数 C g(x) 二.离散型随机变量函数的分布 其中, 必要时，把那些相等值的对应列(概率)合并. 三.连续型随机变量函数的分布 Theorem 设 为连续型随机变量, 则 Theorem 设 则 的密度函数为 此时，我们记 Figure: 对数正态分布的密度函数 小结:对数正态分布 (Lognormal Distribution) 为服从参数为 的对数正态分布 Excel函数： LOGNORMDIST( ). 期望： 方差： 附: 连续型随机变量函数的密度函数 Theorem 设 为连续型随机变量，其密度函数为 为严格单调函数. 若在 上 的反函数 可导，则随机变量函数 的密度函数在 上满足 思考题: 习题二: 第 6 题; 五.几何分布(Bernoulli 概型)Geometric Distribution Recall：在独立重复试验中, 记 表示直到事件 首次发生时的试验次数, 则 （**） 亦可记为 一般地, 若随机变量 的概率分布由（**）给出, 则称 服从参数为 的几何分布. 几何分布的数字特征 几何分布的无记忆性 Remark: 反之，具有无记忆性的离散型随机变量，必为几何分布。 证： 设X具有无记忆性, 记 qk=P(Xk). 则 qm+n= qm qn，由此得 qk=q1k= qk , 于是 P(X=k)=P(Xk-1)-P(Xk)= qk-1 – qk=pqk-1 , 即X为几何分布。 六.超几何分布（无放回抽样） Hypergeometric Distribution 设袋中有 个球，其中白球 个，黑球 个， 任取 个，记 表示抽到的白球数目，则 一般地，若随机变量 的概率分布由上式给出，则称 服从超几何分布. Excel函数：HYPGEOMDIST( ). 超几何分布的数字特征与极限分布 期望： 方差： 极限分布 若 则 可见，超几何分布分布的极限分布为二项分布，即当样本容量足够大时，无放回抽样可近似于有放回抽样.