[理学]D4_1不定积分.ppt

第四章 第一节 一、 原函数与不定积分的概念 定义 2. 不定积分的几何意义: 6 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 内容小结 思考与练习 2. 若 3. 求下列积分: 4. 已知 * 微分法: 积分法: 互逆运算 不定积分 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 1 . 例 ◆原函数存在的充分条件 如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在I上一定有原函数F(x)。 ◆原函数的性质 1、如果有 ，则 2、如果 ，则 。 结论：如果函数 在区间 内有原函数 ，则 有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子 表示。 问题： 的导函数是 ，它的一个原函数是 。 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 记作 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 C 称为积分常数 不可丢 ! 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可 例如, 微分运算与求不定积分的运算是互逆的: 由此可知： +C, +C. 先积分，后微分，形式不变；先微分，后积分，相差一个常数。 解 由于 , 所以 的一个原函数， 2 解 3 求 当 时， ， 是 在 内的一个原函数 即在 内 ， 是 在 内的一个原函数 即在 内 当 时， 解： 4 求 解 解 5 求 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线 . 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的性质 性质1 设函数 及 的原函数存在，则 性质2 设函数 的原函数存在， 为非零常数，则 注解 ① 性质1可推广到有限多个函数之和的情况 ② 往往利用性质对被积函数都需要进行恒等变形， 才能使用基本积分表. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 基本积分表 ? 是常数); 12/22 基本积分表 ? 13/22 解 根据幂函数的积分公式 7 求 （恒等变形法） 注意 检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看 其导数是否等于被积函数 不能漏写积分常数 8. （2） 9（1） 解 原式 分项积分法 1 求 解： 2 求 解： 13 12 ◆直接积分法 解 原式 解 原式 15 14 解 原式 解 原式 16 解 原式 17 解 原式 18 求 解: 原式= 19 求 解 20 求 解 解 解 所求曲线方程为 说明 ①求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函 数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数 ②写成分项积分后，积分常数可以只写一个 ③积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上 只相差一个常数 1. 不定积分的概念 ? 原函数与不定积分的定义 ? 不定积分的性质 ? 基本积分表 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 若 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导函数为 则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 即 B ? ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * *