[理学]D8_1基本概念2.ppt

第八章 第一节 补充：空间直角坐标系的基本概念 在直角坐标系下 例3. 讨论函数 作 业 备用题 1 . 3. 证明 设 求 解法2 令 即 * 目录 上页 下页 返回 结束 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 第八章 二、区域 一、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念 一、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 定义1. 设有变量 x、y 和 z. 如果当变量 x、y 在一定范围 D内任意取定一对值(x, y)时， 总有唯一确定的数值和这对值（x, y）对应， 应法则 f 为x、y的二元函数. 变量 z 按照一定的法则 f ， 则称这个对 变量 x、y 叫做自变量，而 变量 z 叫做因变量. 自变量 x、y 的变化范围叫做函数的 定义域. 与自变量 x、y 的一对值(x, y)对应的因变量 z 的值记作 称为二元函数 f 在(x, y)处的函数值. 二元函数表示为 类似地，可以定义三元函数 三元以上的函数. 以及 称为函数的值域. 数集 二元函数 平面上的点集. 是 xOy 三元函数 的定义域是 空间内的点集. 例如: 二元函数 三元函数 简记为 简记为 的定义域 定义域 y=-x y=x Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) Ⅰ zOx面 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 二、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的? 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . D (2) 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 但非区域 . ? 对点集 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界点集 , 无界点集 . 否则称为 三、多元函数的极限 定义2. 设二元函数 P0 内点或边界点. 是 D 的 如果在 的过程 中, 对应的函数值 限, 记作 或 二元函数的极限叫做二重极限. 定义2* 设二元函数 边界点. 则称 A (也称为 二重极限) 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的内点或 若存在常数 A , 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 对一切 为函数 例1. 设 求证: 证: 故 总有 要证 例2. 设 求证： 证： 故 总有 要证 值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则函数极限不存在 . 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 函数趋于不同 ? 注：所谓二重极限存在，是指 当点 以任