[理学]F23 量子力学基础 2010_2.ppt

大 学 物 理 量 子 力 学 基 础 氢原子系统的空间量子化 氢原子系统的主副量子数确定后，电子在核周围运动的角动量方位还可以不同，但是其取向不能连续改变，只能取一些特定的方向。 一般条件下电子的空间量子化为隐含量，不对外显示，系统能量仅由主、副量子数决定。是单一的能级。 在外界磁场B作用下，磁场赋予原子系统附加的能量，结果使原子系统的单一能级裂变变为多级能级，电子的跃迁产生多级光谱线。自然地解释了光谱在磁场中的分裂现象。 附加的能量很小，分裂的能级靠得较近。 物理意义在于，L在磁场方向上的投影由磁量子数决定。 B ml 称为磁量子数 电子运动在空间有三种可能的取向 B 电子运动在空间有一种可能的取向 电子运动在空间有五种可能取向： 对于单个原子，在磁场中，其空间取向是随机的，但是大量原子的空间分布分布，服从玻尔兹曼分布。能量小的原子数大于能量大的原子数。 氢原子波函数： 氢原子电子空间概率分布： 电子空间概率分布具有球对称性 电子空间概率分布不具有球对称性 波函数满足规一化条件，此外 波函数具有单值、有限、连续的性质。 单值、连续:一定时刻，在空间某点附近，单位体 积内，粒子出现的几率应有一定的量值. 有限: （保证其平方可积） 所谓求粒子的运动就是在不同的物理条件下求出具体的波函数，得到波函数就得到粒子在空间中某点出现的概率。 关键在于找到波函数所满足的方程。 经典力学： 位置 r 动量 mv 轨迹 f（x，y）＝0 量子力学： 位置： 动量 薛定锷方程 能量 动能、势能 能量 单一取值 力学量按不同概率取不同的可能值 23.4 薛定锷方程(运动方程) 1.薛定锷方程 薛定锷方程 牛顿方程 ———量子力学基本方程，不能由基本原理导出。 波函数满足:规一化条件及单值、有限、连续的性质 ———含时薛定锷方程 中运动的波函数 的粒子在势场 是质量为 粒子在三维空间运动： ———三维空间的薛定锷方程 粒子的受力不同，其运动的规律也不同。 当粒子所在的势场不随时间变化时，V=V(r) ——定态问题 定态问题粒子的波函数可以表达成： 2. 定态问题 方程两边必须等于同一常数，上式才可能成立。设这个常数为E。 设这个常数为E： 积分 由于指数是纯数(无量纲)，E有能量的量纲. E 就是粒子的总能量 定态薛定锷方程 概率密度与时间无关的状态——定态 定态时, 粒子具有确定的总能量E。 例 一维运动的自由粒子 方程的通解 自由粒子波函数 用复数表示 23.5 薛定锷方程的应用 一维势阱 对于一维弹簧振子: 定态薛定锷方程 一维问题 定态问题 一维无限深势阱中的粒子运动 x V＝0 a 0 V 为简化计算近似用无限深势阱代替抛物线势阱。 势阱外 势阱内 势阱外 阱外的波函数恒为零，粒子在阱外出现的概率为零，粒子不可能脱离势场约束，被限制在阱内。粒子的状态为束缚态。 阱内解 阱内解 利用波函数的连续性质，可以确定c1、c2 阱外解 阱内解 用波函数的归一化条件： 阱内解： 粒子的波函数是： 粒子在阱外出现的概率是零，粒子只能在阱内运动，且在阱内出现的的概率密度值随x周期变化。 粒子出现的概率是： 出现能量量子化 n取不同的值，称粒子处在不同的能级上。n 称为能量量子数。n等于1时，称其为基态。 有限深势阱波函数与概率分布 一维弹簧振子: 对于非简化势阱： 谐振子波函数与概率分布 例. 在宽度为 a 的一维无限深方势阱中运动的电子 解 (1) 求(1)基态能量(2)基态德布罗意波长(3)…(4)… 已知： (2) 电子的质量 求(3)n=1 时，几率密度最大的位置 几率密度： 由倍角公式，上式为： 将 n=1 代入此式： (4)求处在基态的粒子在 a/4 — 3a/4范围内的几率 定态薛定锷方程 定态 23.8 氢原子的量子力学处理 一、氢原子定态薛定锷方程求解 电子运动时所处的电势： 这是一个球对称的势场。 电子系统的势能为： 定态问题 在球坐标中： 定态问题： 得到三个方程: 分别解出： 是常数 氢原子能量量子化 玻尔的结果是： 薛定锷方程的解: 与玻尔的结果一致，但能量量子化的引入没有任何强加或假设。 二、氢原子能量和角动量量子化 当 E 0 ，氢原子的电子能量足以克服原子核的束缚时，电子电离，是自由电子，能量取连续值。 当 E 0，氢原子的电子为原子核束缚，在束缚态下，原子能量取值是分立值。且与玻尔的表达式相同。 n 决定原子的能量 n 称为原子能量的主量子数。 玻尔理论： 定态薛定锷方程理论： 原子系统